گام به گام تمرین صفحه 23 درس 1 هندسه (2) (دایره)

1)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{DM}}{{MC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{DM}}{{DC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{DM}}{9} = \frac{1}{3}}\\{ \Rightarrow DM = 3 \Rightarrow MC = 6}\\{DM \cdot MC = AM \cdot BM\;{\kern 1pt} \;{\kern 1pt} ,\;{\kern 1pt} \;{\kern 1pt} AM = 0}\\{ \Rightarrow 3 \times 6 = x\left( {11 - x} \right) \Rightarrow {x^2} - 11x + 18 = 0}\\{ \Rightarrow \left( {x - 9} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = 9\;\; \otimes }\end{array}} \right. \Rightarrow x = 2}\\{ \Rightarrow \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{2}{9}}\end{array}\)

2)

\(\begin{array}{l}P{A^2} = PB \cdot PC \Rightarrow {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2}\\ = x\left( {x + 20} \right) \Rightarrow {x^2} + 20x - 300 = 0\\ \Rightarrow \left( {x - 10} \right)\left( {x + 30} \right) = 0\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\x =  - 30\;\; \otimes \end{array} \right. \Rightarrow x = 10\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}PB = 10\\PC = 30\end{array} \right.\end{array}\)

3)

\(\begin{array}{l}OB \cdot OM = ON \cdot ON'\\ \Rightarrow R\left( {R - 16} \right) = \left( {R - 10} \right)\left( {R - 10} \right)\\ \Rightarrow {R^2} - 16R = {R^2} - 20R + 100\\ \Rightarrow 4R = 100 \Rightarrow R = 25\\R' = \frac{{BM}}{2} = \frac{{2R - 16}}{2} = \frac{{50 - 16}}{2}\\ \Rightarrow R' = 17\end{array}\)

4)

با توجه به مبحث «رسم مماس بر دایره از نقطه ای خارج دایره» در صفحه 19 می دانیم که از هر نقطه خارج دایره طول مماس های رسم شده با هم برابرند. بنابراین داریم:

\(\left. \begin{array}{l}MT = M{T_1}\\MT = M{T_2}\\MT = M{T_3}\\MT = M{T_4}\end{array} \right\} \Rightarrow M{T_1} = M{T_2} = M{T_3} = M{T_4} =  \cdots\)

5)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}T{{T'}^2} = {d^2} - {\left( {R - R'} \right)^2}\\{T_1}{{T'}_1}^{\;2} = {d^2} - {\left( {R + R'} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}63 = 64 - {\left( {R - R'} \right)^2}\\15 = 64 - {\left( {R + R'} \right)^2}\end{array} \right.\\\\\left\{ \begin{array}{l}R - R' = 1\\R + R' = 7\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}R = 4\\R' = 3\end{array} \right.\end{array}\)

6)

مجموع سه قطاع با زاویه 120 درجه تشکیل یک دایره کامل می دهد؛ بنابراین داریم:

طول نخ = 2r + 2r + 2r + محیط دایره = 6r + 2πr

مجموع سه قطاع با زاویه 60 درجه تشکیل یک نیم دایره می دهد؛ بنابراین داریم:

= مساحت ناحیه هاشور خورده ABC مساحت مثلث – مساحت نیم دایره

\(= \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {2r} \right)^2} - \frac{{\pi {r^2}}}{2} = \sqrt 3 {r^2} - \frac{{\pi {r^2}}}{2} = {r^2}\left( {\sqrt 3  - \frac{\pi }{2}} \right)\)

7)

با توجه به شکل OA=R و O’A=R’ . در نتیجه :

مساحت ناحیه هاشور زده = \( \pi {R^2} - \pi {{R'}^2} = 16\pi\)

\(\begin{array}{l} = \pi {R^2} - \pi {{R'}^2} = 16\pi \\ \Rightarrow {R^2} - {{R'}^2} = 16\\ \Rightarrow \left( {R - R'} \right)\left( {R + R'} \right) = 16\;\;,\;\;OO' = R - R' = 2\\ \Rightarrow 2\left( {R + R'} \right) = 16 \Rightarrow R + R' = 8\\\left\{ \begin{array}{l}R - R' = 2\\R + R' = 8\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}R = 5\\R' = 3\end{array} \right.\end{array}\)

8)

مثلث OAB مثلث متساوی الساقین است و زاویه مرکزی \( \widehat O = {60^ \circ }\) است. پس این مثلث متساوی الاضلاع است.

A مساحت قسمت رنگی =

َ مساحت قطاع 60 درجه- OAB مساحت مثلث

\(\begin{array}{l}A = \frac{{\pi {r^2}}}{{360}}\alpha  - \frac{{\sqrt 3 }}{4} \times {r^2}\\ = \frac{{16\pi }}{{360}} \times 60 - 4\sqrt 3 \\ \Rightarrow A = \frac{8}{3}\pi  - 4\sqrt 3 \end{array}\)