جواب فعّالیت 3 صفحه 61 درس 3 هندسه یازدهم (روابط طولی در مثلث)

الف

1

این دو زاویه محاطی هستند و هر دو روبه رو به کمان \(AB\) هستند، پس با هم برابرند و هم اندازه اند.

2

زیرا زاویه A محاطی رو به رو به قطر دایره است:

\(\widehat A = \frac{{\mathop {BCD}\limits^\frown \,}}{2} = \frac{{{{180}^ \circ }}}{2} = {90^ \circ }\)

3

\(\begin{array}{l}{\mathop{\rm Sin}\nolimits} C = {\mathop{\rm Sin}\nolimits} D\;\;,\;\;{\mathop{\rm Sin}\nolimits} D = \frac{c}{{BD}}\\\\ \to {\mathop{\rm Sin}\nolimits} C = \frac{c}{{2R}}\; \to \;\frac{C}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} C}} = 2R\end{array}\)

4

\(\frac{a}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A}} = 2R\;\;,\;\;\frac{b}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} B}} = 2R\)

ب

1

این دو زاویه مکمل هم هستند:

راه اول:

چهار ضلعی ABA’C محاطی است، پس بنا بر قضیه زوایای مقابل مکمل هستند.

راه دوم:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\widehat A = \frac{{\widehat {BA'C}}}{2}\\\widehat {A'} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2}\end{array} \right\}\\\\ \Rightarrow \widehat A + \widehat {A'} = \frac{{\widehat {BA'C}}}{2} + \frac{{\widehat {BAC}}}{2}\\\\ = \frac{{\widehat {BA'C} + \widehat {BAC}}}{2} = \frac{{{{360}^ \circ }}}{2} = {180^ \circ }\\\\\sin A = \sin \left( {180^\circ - \widehat A'} \right) = \sin A'\\\\\frac{a}{{\sin A'}} = 2R \to \;\frac{a}{{\sin A}} = 2R\end{array}\)

2

به این دلیل که وتر CD از مرکز دایره می گذرد و بنابراین قطر دایره می باشد و همچنین زاویه ظلی CAD رو به کمان CD می باشد. همانطور که می دانیم کمان CD برابر با 180 درجه می باشد؛ در نتیجه زاویه CAD برابر با نصف کمان CD و برابر با 90 درجه می شود. در نتیجه مثلث ADC در رأس A قائم الزاویه می باشد.

\(\begin{array}{l}\mathop {CD}\limits^\frown {\mkern 1mu} = {180^ \circ }\\\\ \Rightarrow C\hat AD = \frac{{\mathop {CD}\limits^\frown {\mkern 1mu} }}{2} = \frac{{\mathop {{{180}^ \circ }}\limits^\frown {\mkern 1mu} }}{2} = {90^ \circ }\end{array}\)

همچنین زاویه D چون رو به کمان AC می باشد، با زاویه B برابر می باشد:

\(\left\{ \begin{array}{l}\hat D = \frac{{\mathop {AC}\limits^\frown }}{2}{\mkern 1mu} \\\\\hat B = \frac{{\mathop {AC}\limits^\frown }}{2}{\mkern 1mu} \end{array} \right. \Rightarrow \hat D = \hat B\)

3

\(\sin D = \frac{{AC}}{{DC}} = \frac{b}{{2R}}\; \to \;\sin B = \frac{b}{{2R}}\)

نتیجه: در هر مثلث دلخواه، نسبت اندازۀ هر ...ضلع... به ...سینوس... زاویە روبه رو به آن برابر است با ...طول قطر دایره محاطی مثلث...