شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
\({a_1}\)، \({a_2}\) و \({a_3}\) عددهایی صحیح هستند و \({b_1}\)، \({b_2}\) و \({b_3}\) هم همان اعداد ولی به ترتیب دیگری قرار گرفته اند. ثابت کنید \(({a_1} - {b_1})({a_2} - {b_2})({a_3} - {b_3})\) عددی زوج است.
حل: برای درک بهتر مسئله، مثالی ارائه می کنیم. \({a_1}\)، \({a_2}\) و \({a_3}\) را به ترتیب، 5، 8 و 1 در نظر می گیریم و \({b_1}\)، \({b_2}\) و \({b_3}\) را 8، 1 و 5 در نظر می گیریم، داریم:
\(\begin{array}{l}({a_1} - {b_1})({a_2} - {b_2})({a_3} - {b_3}) = \\\\(5 - 8)(8 - 1)(1 - 5) = \\\\( - 3)(7)( - 4) = 84\end{array}\)
اگر \(({a_1} - {b_1})({a_2} - {b_2})({a_3} - {b_3})\) زوج نباشد (فرض خلف) پس عددی فرد است. پس هر سه عامل \({a_1} - {b_1}\)، \({a_2} - {b_2}\) و \({a_3} - {b_3}\) هم باید فرد باشند (چرا؟) و در نتیجه مجموع آنها هم باید عددی فرد باشد، یعنی \(({a_1} - {b_1}) + ({a_2} - {b_2}) + ({a_3} - {b_3})\) باید عددی فرد باشد. امّا مجموع این سه عبارت صفر است!
به این دلیل که حاصل ضرب سه عدد زمانی برابر با عدد فرد می باشد که هیچ کدام از اعداد داده شده، زوج نباشند؛ پس بایستی حتما فرد باشند.
1736019749.png)
