جواب فعالیت صفحه 22 درس 1 ریاضیات گسسته (آشنایی با نظریۀ اعداد)

همان طور که در دورهٔ ابتدایی آموختید عدد نویسی در مبنای 10 انجام می شود که در آن ارزش مکانی ارقام، ده تا ده تا درنظر گرفته می شود (ده تا یکی می شود ده تا و ده تا ده تایی می شود صد تا و ده تا صد تایی می شود هزار تا و ...) بنابراین به راحتی می توانیم هر عدد را در مبنای ده بسط بدهیم. به عنوان مثال عدد 1397 را می توان به صورت زیر بسط داد:

\(\begin{array}{l}1397 = 1 \times 1000 + 3 \times 100 + 9 \times 10 + 7\\\\ \Rightarrow 1397 = 1 \times {10^3} + 3 \times {10^2} + 9 \times 10 + 7\end{array}\)

1 هر یک از دو عدد زیر را در مبنای ده بسط بدهید:

\(\begin{array}{l}1388109 = 1 \times {10^6} + ...\\\\13571122 = \end{array}\)

2 باقی ماندهٔ تقسیم عدد A=1358112 را بر عدد 9 بیابید.

می دانیم \(10\mathop \equiv \limits^9 1\) و بنابر ویژگی های رابطهٔ هم نهشتی \({10^n}\mathop \equiv \limits^9 1\) و داریم:

\(\begin{array}{l}A\mathop = \limits^9 1 \times {10^6} + 3 \times {10^5} + \ldots + \ldots + \ldots + 1 \times {10^1} + 2\\{10^6}\mathop \equiv \limits^9 1\;\mathop \Rightarrow \limits^{ \times 1} \;1 \times {10^6}\mathop \equiv \limits^9 1\\{10^5}\mathop \equiv \limits^9 1\;\mathop \Rightarrow \limits^{ \times 3} \;3 \times {10^5}\mathop \equiv \limits^9 3\\{10^4}\mathop \equiv \limits^9 1\;\mathop \Rightarrow \limits^{ \times 5} \; \ldots \mathop \equiv \limits^9 \ldots \\{10^3}\mathop \equiv \limits^9 1\; \Rightarrow \; \ldots \times {10^3}\mathop \equiv \limits^9 \ldots \\{10^2}\mathop \equiv \limits^9 1\; \Rightarrow \;1 \times {10^2}\mathop \equiv \limits^9 \ldots \\{10^1}\mathop \equiv \limits^9 1\; \Rightarrow \;1 \times {10^1}\mathop \equiv \limits^9 \ldots \\\frac{{2\mathop \equiv \limits^9 2}}{{\;\;\;\;A\mathop \equiv \limits^9 1 + 3 + 5 + 8 + 1 + 1 + 2}}\\\end{array}\)

با جمع طرفین هم نهشتی ها داریم:

اگر دقت کنید سمت راست هم نهشتیِ اخیر مجموعِ ارقام A است. بنابراین می توان گفت «باقی ماندهٔ تقسیم هر عدد بر 9 برابر است با باقی ماندهٔ تقسیم مجموع ارقام آن عدد بر 9».

عدد n رقمی \(A = \overline {{a_{n - 1}}\,{a_{n - 2}}\,{a_{n - 3}}\,...\,{a_2}\,{a_1}\,{a_0}} \) را بسط دهید و در هم نهشتی به پیمانهٔ 9 به جای هر توان 10 عدد 1 را قرار دهید، سپس همین نتیجه گیری را در حالت کلّی بررسی کنید.

\(\begin{array}{l}A = {10^{n - 1}} \times {a_{n - 1}} + \ldots + \ldots + \ldots + {10^2}{a_2} + {10^1}{a_1} + {10^0}{a_0}\\ \Rightarrow A\mathop \equiv \limits^9 1 \times {a_{n - 1}} + \ldots + 1 \times {a_1} + {a_0}\\ \Rightarrow A\mathop \equiv \limits^9 \ldots \end{array}\)