جواب فعالیت صفحه 18 درس 1 ریاضیات گسسته (آشنایی با نظریۀ اعداد)

در درس قبل دیدیم که باقی‌مانده‌های تقسیم اعداد بر 4 عبارت‌اند از 0، 1، 2 و 3. حال اگر هر کدام از این باقی‌مانده‌ها را نماینده یک مجموعه از اعداد در نظر بگیریم، می‌توانیم تقسیم هر عضو از مجموعه به عدد 4 را به ترتیب 0، 1، 2 و 3 نشان بدهیم. به این ترتیب داریم:

(مجموعه اعدادی را که باقی‌مانده تقسیم آن‌ها به عدد m مساوی با عدد r باشد با نماد [r]_m نشان می‌دهیم.)

\(\begin{array}{l}{A_0} = \{ x \in \mathbb{Z}\mid x = 4k\} = \{ \ldots , - 8, - 4,0,4,8, \ldots ,16, \ldots \} = {[0]_4}\\\\{A_1} = \{ x \in \mathbb{Z}\mid x = 4k + 1\} = \{ \ldots , - 7, - 3,1,5, \ldots ,13, \ldots ,21, \ldots \} = {[1]_4}\\\\{A_2} = \{ x \in \mathbb{Z}\mid x = 4k + 2\} = \{ \ldots , - 6, \ldots ,2,6,10, \ldots \} = {[2]_4}\\\\{A_3} = \{ x \in \mathbb{Z}\mid x = 4k + 3\} = \{ \ldots , - 13, \ldots , - 5, - 1,3,7,11, \ldots \} = {[3]_4}\end{array}\)

1 دو عضو دلخواه از مجموعه A₄ را در نظر بگیرید. آیا تفاضل این دو عدد مضرب 4 است؟

2 از مجموعه \(A_4\) دو عضو دلخواه را در نظر بگیرید و تفاضل آن‌ها را حساب کنید. آیا عدد حاصل مضرب 4 است؟ 

3 نتایج را که از (۱) و (۲) گرفتید در حالت کلی برای هر دو عضو دلخواه از A₁ اثبات کنید. 

فرض کنید: \(a,b \in {A_1} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4{k_1} + 1}\\{b = \ldots }\end{array}} \right. \Rightarrow a - b = ( \ldots ) - (4{k_2} + 1)\)

\( \Rightarrow a - b = 4(\underbrace {{k_1} - {k_2}}_{{k_3}}) \Rightarrow 4\mid \ldots \)

 4 آیا درست است که بگوییم اعضای مجموعه A₄ همگی در تقسیم بر عدد 4 باقی‌مانده یکسان دارند؟ در مورد مجموعه A₄ چه می‌توان گفت؟