گام به گام تمرین صفحه 16 درس 1 ریاضیات گسسته (آشنایی با نظریۀ اعداد)
تعداد بازدید : 59.26Mپاسخ تمرین صفحه 16 ریاضیات گسسته
-گام به گام تمرین صفحه 16 درس آشنایی با نظریۀ اعداد
-تمرین صفحه 16 درس 1
-1)
a|cd,b|cd,c|ab,d|ab,ab|cd
2)
a|b,(a|b⇒a|mb)⇒a|(−1)b⇒a|−b−a|a,a|b,(a|b∧b|c⇒a|c)⇒−a|ba|b⇒(−1)a|(−1)b⇒−a|−b
3)
a|9k+4a|45k+20a|5k+3a|45k+27}⇒a|(45k+27)−(a|45k+20)⇒a|7a>1⇒a=7
a عدد اول است.
4)
a|5k+1()2⇒25|16k2+8k+1a|5k+1×5⇒25|20k+5}+⇒25|16k2+28k+6
5)
خیر؛ بطور مثال 3|3 و 4|2 ولی 3+4|3+2 نیست
6)
الف)
m∈Z,(m,m+1)=d⇒d|m∧d|m+1⇒d|m+1−m⇒d|1d>0⇒d=1
ب)
k∈Z,(2k+1,2k+3)=d⇒d|(2k+1)∧d|(2k+3)⇒d|(2k+3)−(2k+1)⇒d|2(d∈O)⇒d=1
7)
برهان خلف :
گیریم (p,q)=d و d≠1 باشد، بنابراین :
d|p∧d|qd≠1⇒d=p∧d=q⇒p=q
تناقض
8)
d|p()m⇒dm|pm×bn−m⇒dm|pm×pn−m⇒dm|pn
9)
a=7k+5×8⇒8a=56k+40a=8k′+7×7⇒8a=56k′+49}(−)⇒a=56k−56k′−9,−9=−56+47⇒a=56k−56k′−56+47⇒a=56(k−k′−1)_q+47⇒r=47
10)
Odd : اعداد فرد
n∈Z,a=2n+1b|a+2⇒b|2n+3⇒b∈Odd⇒b=2m+1,m∈Za2+b2+3=(2n+1)2+(2m+1)2+3=4n2+4n+1_+4m2+4m+1_+3_=4n(n+1)_2k+4m(m+1)_2k′+5=8k+8k′+5=8(k+k′)_q+5⇒r=5
11)
n3−n=n(n2−1)=n(n−1)(n+1)n=3k⇒n3−n=3k(3k−1)(3k+1)_q⇒3|n3−nn=3k+1⇒n3−n=(3k+1)(3k)(3k+2)=3k(3k+1)(3k+2)_q′⇒3|n3−nn=3k+2⇒n3−n=(3k+2)(3k+1)(3k+3)=3(k+1)(3k+2)(3k+1)_q″
بنابراین در هر حالت نشان دادیم 3|{n^3} - n .
12)
با فرض a = bq + r داریم :
\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}n|a\\n|b \Rightarrow n|bq\end{array} \right\} \Rightarrow n|a - bq\\\\\;\mathop \Rightarrow \limits^{a - bq = r} \;\;n|r\end{array}
13)
برای هر عدد صحیح دلخواه a یکی از سه حالت زیر وجود دارد :
\begin{array}{l}(1):\quad a = 3k \Rightarrow 3|a\\(2):\quad a = 3k + 1 \Rightarrow a + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) \Rightarrow 3|a + 2\\(3):\quad a = 3k + 2 \Rightarrow a + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) \Rightarrow 3|a + 4\end{array}
بنابراین همواره یکی از اعداد صحیح a یا a+2 یا a+4 بر 3 بخش پذیرند.
14)
با فرض n \in \mathbb{Z} ، دو عدد صحیح متوالی را به صورت n و n+1 در نظر می گیریم :
\begin{array}{l}{(n + 1)^3} - {n^3} = {n^3} + 3{n^2} + 3n + 1\\\\ - {n^3} = 3\mathop {\underline {n(n + 1)} }\limits_{2k} + 1 = 2\mathop {\underline {(3k)} }\limits_q + 1 \Rightarrow \end{array}
عدد فرد است.
15)
اعداد صحیح متوالی را به صورت n+1 ، n و n-1 در نظر می گیریم که حاصلضرب آن ها n3-n خواهد شد و قبلاً (تمرین 11) نشان دادیم که 3|{n^3} - n ، پس n3-n بر 3 بخش پذیر است.
از طرفی حاصلضرب هر دو عدد صحیح متوالی، مضرب 2 است پس حاصلضرب سه عدد صحیح متوالی، بر 2 بخش پذیر است.
بنابراین n3-n بر 6 یعنی !3 بخش پذیر است؛ در نتیجه 3!|{n^3} - n.
16)
(الف \left( {\left[ {{m^2},m} \right],{m^5}} \right)
\Rightarrow (\;\mathop {\underline {\left[ {{m^2}\;,\;m} \right]} }\limits_{{m^2}} \;,\;{m^5}\;) = ({m^2}\;,\;{m^5}) = {m^2}\quad ,\quad m \ne 0
(ب \left( {2m,6{m^3}} \right) = 2\left| m \right|\;\;,\;\;m \ne 0
(توجه داشته باشیم که: 2m|6{m^3} )
(پ \left( {3m + 1,3m + 2} \right) = 1
(توجه داشته باشیم که 3m + 1 و 3m + 2 دو عدد صحیح متوالی اند.)
(ت \left[ {{m^7},\left( {{m^2},{m^3}} \right)} \right] = \left[ {{m^7}\;,\;{m^2}} \right] = \left| {{m^7}} \right|\quad ,\quad m \ne 0
(ث \left[ {\left( {72,48} \right)\;,\;120} \right] = \left[ {24\;,\;120} \right] = 120
( توجه داشته باشیم که 24|120 )

مای درس ، برترین اپلیکیشن کمک درسی ایران
پوشش تمام محتواهای درسی پایه چهارم تا دوازدهم- آزمون آنلاین تمامی دروس
- گام به گام تمامی دروس
- ویدئو های آموزشی تمامی دروس
- گنجینه ای از جزوات و نمونه سوالات تمامی دروس
- فلش کارت های آماده دروس
- گنجینه ای جامع از انشاء های آماده
- آموزش جامع آرایه های ادبی، دستور زبان، قواعد زبان انگلیسی و ... ویژه