جواب تمرین صفحه 16 درس 1 ریاضیات گسسته (آشنایی با نظریۀ اعداد)

\(a|cd\;\;,\;\;b|cd\;\;,\;\;c|ab\;\;,\;\;d|ab\;\;,\;\;ab|cd\)

\(\begin{array}{l}a|b\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{(a|b \Rightarrow a|mb)} \;a|( - 1)b \Rightarrow a| - b\\\\ - \;a|a\quad ,\quad a|b\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{(a|b\; \wedge \;b|c\; \Rightarrow \;a|c)} \; - a|b\\\\a|b \Rightarrow ( - 1)a|( - 1)b\; \Rightarrow - a| - b\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a|9k + 4\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{ \times 5} \;a|45k + 20\\a|5k + 3\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{ \times 9} \;a|45k + 27\end{array} \right\}\\\\ \Rightarrow a|(45k + 27) - (a|45k + 20)\\\\ \Rightarrow a|7\;\mathop \Rightarrow \limits^{a > 1} \;a = 7\end{array}\)

a عدد اول است.

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a|5k + 1\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{{{(\;)}^2}} \;25|16{k^2} + 8k + 1\\a|5k + 1\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{ \times 5} \;25|20k + 5\end{array} \right\}\;\\\\\mathop \Rightarrow \limits^ + \;25|16{k^2} + 28k + 6\end{array}\)

 خیر؛ بطور مثال \(3|3\) و \(2|4\) ولی \(2 + 3\not{|}4 + 3\).

الف

\(\begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\;,\;(m\;,\;m + 1) = d \Rightarrow d|m\; \wedge \;d|m + 1\\\\ \Rightarrow d|m + 1 - m \Rightarrow d|1\mathop \Rightarrow \limits^{d > \;0} d = 1\end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\;,\;(2k + 1\;,\;2k + 3) = d\\\\ \Rightarrow d|(2k + 1)\; \wedge \;d|(2k + 3)\\\\ \Rightarrow d|(2k + 3) - (2k + 1\;) \Rightarrow d|2\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{(d \in O)} d = 1\end{array}\)

برهان خلف:

گیریم \((p\;,\;q) = d\) و \(d \ne 1\) باشد، بنابراین:

\(d|p\quad \wedge \quad d|q\quad \mathop \Rightarrow \limits^{d \ne 1} \quad d = p\quad \wedge \quad d = q\)

تناقض \( \Rightarrow p = q\)

\(\begin{array}{l}d|p\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{{{(\;)}^m}} \;\;{d^m}|{p^m}\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{ \times {b^{n - m}}} \\\\{d^m}|{p^m} \times {p^{n - m}} \Rightarrow {d^m}|{p^n}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a = 7k + 5\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{ \times 8} \;\;8a = 56k + 40\\a = 8k' + 7\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{ \times 7} \;\;8a = 56k' + 49\end{array} \right\}\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{( - )} \;\;a = 56k - 56k' - 9\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{ - \;9\; = \; - \;56 + 47} \;\;a = 56k - 56k' - 56 + 47\\\\ \Rightarrow a = 56\mathop {\underline {(k - k' - 1)} }\limits_q + 47 \Rightarrow r = 47\end{array}\)

\(\begin{array}{l}n \in \mathbb{Z}\;\;,\;\;a = 2n + 1\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{b|a + 2} \;\;b|2n + 3\\\\ \Rightarrow b \in Odd \Rightarrow b = 2m + 1\quad ,\quad m \in \mathbb{Z}\\\\{a^2} + {b^2} + 3 = {(2n + 1)^2} + {(2m + 1)^2} + 3\\\\ = 4{n^2} + 4n + \underline 1 + 4{m^2} + 4m + \underline 1 + \underline 3 \\\\ = 4\mathop {\underline {n(n + 1)} }\limits_{2k} + 4\mathop {\underline {m(m + 1)} }\limits_{2k'} + 5 = 8k + 8k' + 5\\\\ = 8\mathop {\underline {(k + k')} }\limits_q + 5 \Rightarrow r = 5\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{n^3} - n = n({n^2} - 1) = n(n - 1)(n + 1)\\\\n = 3k \Rightarrow {n^3} - n = 3\mathop {\underline {k(3k - 1)(3k + 1)} }\limits_q \\ \Rightarrow 3|{n^3} - n\\\\n = 3k + 1 \Rightarrow {n^3} - n = (3k + 1)(3k)(3k + 2)\\\\ = 3\mathop {\underline {k(3k + 1)(3k + 2)} }\limits_{q'} \Rightarrow 3|{n^3} - n\\\\n = 3k + 2 \Rightarrow {n^3} - n = (3k + 2)(3k + 1)(3k + 3)\\\\ = 3\mathop {\underline {(k + 1)(3k + 2)(3k + 1)} }\limits_{q''} \Rightarrow 3|{n^3} - n\end{array}\)

بنابراین در هر حالت نشان دادیم \(3|{n^3} - n\)

با فرض \(a = bq + r\) داریم:

\(\left. \begin{array}{l}n|a\\n|b \Rightarrow n|bq\end{array} \right\} \Rightarrow n|a - bq\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{a - bq = r} \;\;n|r\)

برای هر عدد صحیح دلخواه a یکی از سه حالت زیر وجود دارد:

\(\begin{array}{l}(1):\quad a = 3k \Rightarrow 3|a\\\\(2):\quad a = 3k + 1 \Rightarrow a + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1)\\ \Rightarrow 3|a + 2\\\\(3):\quad a = 3k + 2 \Rightarrow a + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2)\\ \Rightarrow 3|a + 4\end{array}\)

بنابراین همواره یکی از اعداد صحیح a یا \(a+2 \) یا \(a+4 \) بر 3 بخش پذیرند.

با فرض \(n \in \mathbb{Z}\)، دو عدد صحیح متوالی را به صورت n و n+1 در نظر می گیریم:

\(\begin{array}{l}{(n + 1)^3} - {n^3} = {n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 - {n^3}\\\\ = 3\mathop {\underline {n(n + 1)} }\limits_{2k} + 1 = 2\mathop {\underline {(3k)} }\limits_q + 1 \Rightarrow \end{array}\)

عدد فرد است.

اعداد صحیح متوالی را به صورت n+1 و n و n-1 در نظر می گیریم که حاصلضرب آن ها \({n^3} - n\) خواهد شد و قبلاً ( تمرین 11 ) نشان دادیم که \(3|{n^3} - n\)، پس \({n^3} - n\) بر 3 بخش پذیر است.

از طرفی حاصلضرب هر دو عدد صحیح متوالی، مضرب 2 است پس حاصلضرب سه عدد صحیح متوالی، بر 2 بخش پذیر است.

بنابراین \({n^3} - n\) بر 6 یعنی 3! بخش پذیر است؛ در نتیجه \(3!|{n^3} - n\).

الف

\(\begin{array}{l}\left( {\left[ {{m^2}\;,\;m} \right]\;,\;{m^5}} \right)\\\\ \Rightarrow (\;\mathop {\underline {\left[ {{m^2}\;,\;m} \right]} }\limits_{{m^2}} \;,\;{m^5}\;) = ({m^2}\;,\;{m^5}) = {m^2}\;,\;m \ne 0\end{array}\)

ب

\(\left( {2m\;,\;6{m^2}} \right) = 2\left| m \right|\quad ,\quad m \ne 0\)

(توجه داشته باشیم که : \(2m|6{m^3}\) )

پ

\(\left( {3m + 1\;,\;3m + 2} \right) = 1\)

( توجه داشته باشیم که \(3m + 1\) و \(3m + 2\) دو عدد صحیح متوالی اند.)

ت

\(\left[ {{m^7}\;,\;\left( {{m^2}\;,\;{m^3}} \right)} \right] = \left[ {{m^7}\;,\;{m^2}} \right] = \left| {{m^7}} \right|\;\;,\;\;m \ne 0\)

ث

\(\left[ {\left( {72\;,\;48} \right)\;,\;120} \right] = \left[ {24\;,\;120} \right] = 120\)

(توجه داشته باشیم که \(24|120\))