گام به گام تمرین صفحه 16 درس آشنایی با نظریۀ اعداد ریاضیات گسسته

1)

\(a|cd\;\;,\;\;b|cd\;\;,\;\;c|ab\;\;,\;\;d|ab\;\;,\;\;ab|cd\)

2)

\(\begin{array}{l}a|b\;\;,\;\;(a|b \Rightarrow a|mb) \Rightarrow a|( - 1)b \Rightarrow a| - b\\ - \;a|a\;\;,\;\;a|b\;\;,\;\;(a|b\; \wedge \;b|c\quad  \Rightarrow \quad a|c)\\ \Rightarrow  - a|b\\a|b \Rightarrow ( - 1)a|( - 1)b \Rightarrow  - a| - b\end{array}\)

3)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a|9k + 4a|45k + 20\\a|5k + 3a|45k + 27\end{array} \right\}\\\\ \Rightarrow a|(45k + 27) - (a|45k + 20)\\ \Rightarrow a|7\mathop  \Rightarrow \limits^{a > 1} a = 7\end{array}\)

a عدد اول است.

4)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a|5k + 1\;\mathop  \Rightarrow \limits^{{{(\;)}^2}} \;25|16{k^2} + 8k + 1\\a|5k + 1\;\mathop  \Rightarrow \limits^{ \times 5} \;25|20k + 5\end{array} \right\}\;\\\\\mathop  \Rightarrow \limits^ +  25|16{k^2} + 28k + 6\end{array}\)

5)

خیر؛ بطور مثال 3|3 و 4|2 ولی 3+4|3+2 نیست

6)

الف)

\(\begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\;,\;(m\;,\;m + 1) = d\\\\ \Rightarrow d|m\; \wedge \;d|m + 1\\\\ \Rightarrow d|m + 1 - m \Rightarrow d|1\mathop  \Rightarrow \limits^{d > \;0} d = 1\end{array}\)

ب)

\(\begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\;,\;(2k + 1\;,\;2k + 3) = d\\\\ \Rightarrow d|(2k + 1)\; \wedge \;d|(2k + 3)\\\\ \Rightarrow d|(2k + 3) - (2k + 1\;)\\\\ \Rightarrow d|2\mathop  \Rightarrow \limits^{(d \in O)} d = 1\end{array}\)

7)

برهان خلف :

گیریم \((p\;,\;q) = d\) و \(d \ne 1\) باشد، بنابراین :

\(d|p\;\; \wedge \;\;d|q\;\;\mathop  \Rightarrow \limits^{d \ne 1} \;\;d = p\;\; \wedge \;\;d = q\;\; \Rightarrow p = q\)

تناقض

8)

\(d|p\;\;\;\mathop  \Rightarrow \limits^{{{(\;)}^m}} \;\;{d^m}|{p^m}\;\;\;\mathop  \Rightarrow \limits^{ \times {b^{n - m}}} \;\;{d^m}|{p^m} \times {p^{n - m}}\;\; \Rightarrow \;\;{d^m}|{p^n}\)

9)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a = 7k + 5\mathop  \Rightarrow \limits^{ \times 8} 8a = 56k + 40\\a = 8k' + 7\mathop  \Rightarrow \limits^{ \times 7} 8a = 56k' + 49\end{array} \right\}\\\\\mathop  \Rightarrow \limits^{( - )} a = 56k - 56k' - 9\;\;,\;\; - \;9\; = \; - \;56 + 47\\\\ \Rightarrow a = 56k - 56k' - 56 + 47\\\\ \Rightarrow a = 56\mathop {\underline {(k - k' - 1)} }\limits_q  + 47 \Rightarrow r = 47\end{array}\)

10)

Odd : اعداد فرد

\(\begin{array}{l}n \in \mathbb{Z}\;\;,\;\;a = 2n + 1\;\;\;\mathop  \Rightarrow \limits^{b|a + 2} \;\;b|2n + 3\\ \Rightarrow b \in Odd \Rightarrow b = 2m + 1\quad ,\quad m \in \mathbb{Z}\\{a^2} + {b^2} + 3 = {(2n + 1)^2} + {(2m + 1)^2} + 3\\ = 4{n^2} + 4n + \underline 1  + 4{m^2} + 4m + \underline 1  + \underline 3 \\ = 4\mathop {\underline {n(n + 1)} }\limits_{2k}  + 4\mathop {\underline {m(m + 1)} }\limits_{2k'}  + 5 = 8k + 8k' + 5\\ = 8\mathop {\underline {(k + k')} }\limits_q  + 5 \Rightarrow r = 5\end{array}\)

11)

\(\begin{array}{l}{n^3} - n = n({n^2} - 1) = n(n - 1)(n + 1)\\n = 3k \Rightarrow {n^3} - n = 3\mathop {\underline {k(3k - 1)(3k + 1)} }\limits_q  \Rightarrow 3|{n^3} - n\\\\n = 3k + 1 \Rightarrow {n^3} - n = (3k + 1)(3k)(3k + 2)\\ = 3\mathop {\underline {k(3k + 1)(3k + 2)} }\limits_{q'}  \Rightarrow 3|{n^3} - n\\\\n = 3k + 2 \Rightarrow {n^3} - n = (3k + 2)(3k + 1)(3k + 3)\\ = 3\mathop {\underline {(k + 1)(3k + 2)(3k + 1)} }\limits_{q''}  \Rightarrow 3|{n^3} - n\end{array}\)

بنابراین در هر حالت نشان دادیم \(3|{n^3} - n .\)

12)

با فرض a = bq + r داریم :

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}n|a\\n|b \Rightarrow n|bq\end{array} \right\} \Rightarrow n|a - bq\\\\\;\mathop  \Rightarrow \limits^{a - bq = r} \;\;n|r\end{array}\)

13)

برای هر عدد صحیح دلخواه a یکی از سه حالت زیر وجود دارد :

\(\begin{array}{l}(1):\quad a = 3k \Rightarrow 3|a\\(2):\quad a = 3k + 1 \Rightarrow a + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) \Rightarrow 3|a + 2\\(3):\quad a = 3k + 2 \Rightarrow a + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) \Rightarrow 3|a + 4\end{array}\)

بنابراین همواره یکی از اعداد صحیح a یا \(a+2\) یا \(a+4\) بر 3 بخش پذیرند.

14)

با فرض \(n \in \mathbb{Z}\) ، دو عدد صحیح متوالی را به صورت n و n+1 در نظر می گیریم :

\(\begin{array}{l}{(n + 1)^3} - {n^3} = {n^3} + 3{n^2} + 3n + 1\\\\ - {n^3} = 3\mathop {\underline {n(n + 1)} }\limits_{2k}  + 1 = 2\mathop {\underline {(3k)} }\limits_q  + 1 \Rightarrow \end{array}\)

عدد فرد است.

15)

اعداد صحیح متوالی را به صورت n+1 ، n و n-1 در نظر می گیریم که حاصلضرب آن ها n³-n خواهد شد و قبلاً (تمرین 11) نشان دادیم که \(3|{n^3} - n\) ، پس n³-n بر 3 بخش پذیر است.

از طرفی حاصلضرب هر دو عدد صحیح متوالی، مضرب 2 است پس حاصلضرب سه عدد صحیح متوالی، بر 2 بخش پذیر است.

بنابراین n³-n بر 6 یعنی !3 بخش پذیر است؛ در نتیجه \(3!|{n^3} - n.\)

16)

(الف \(\left( {\left[ {{m^2},m} \right],{m^5}} \right) \)

 \(\Rightarrow (\;\mathop {\underline {\left[ {{m^2}\;,\;m} \right]} }\limits_{{m^2}} \;,\;{m^5}\;) = ({m^2}\;,\;{m^5}) = {m^2}\quad ,\quad m \ne 0\)

(ب  \(\left( {2m,6{m^3}} \right)\) \(= 2\left| m \right|\;\;,\;\;m \ne 0\)

(توجه داشته باشیم که: \(2m|6{m^3}\)  )

 (پ \(\left( {3m + 1,3m + 2} \right)\) \(= 1\)

(توجه داشته باشیم که \( 3m + 1\) و \( 3m + 2\) دو عدد صحیح متوالی اند.)

(ت \(\left[ {{m^7},\left( {{m^2},{m^3}} \right)} \right]\) \(= \left[ {{m^7}\;,\;{m^2}} \right] = \left| {{m^7}} \right|\quad ,\quad m \ne 0\)

(ث \(\left[ {\left( {72,48} \right)\;,\;120} \right]\) \(= \left[ {24\;,\;120} \right] = 120\)

( توجه داشته باشیم که \(24|120\) )