گام به گام تمرین صفحه 8 درس 1 ریاضیات گسسته (آشنایی با نظریۀ اعداد)
تعداد بازدید : 59.26Mپاسخ تمرین صفحه 8 ریاضیات گسسته
-گام به گام تمرین صفحه 8 درس آشنایی با نظریۀ اعداد
-تمرین صفحه 8 درس 1
-
1)
الف)
اگر x و y دو عدد حقیقی هم علامت (مخالف صفر) باشند، داریم :
xy+yx≥2⇔xy(xy+yx)≥2xy⇔x2+y2≥2xy⇔x2+y2−2xy≥0⇔(x−y)2≥0
که این عبارت همواره درست است.
ب)
برای هر سه عدد حقیقی x و y و z داریم :
x2+y2+z2≥xy+yz+zx×2⇔2x2+2y2+2z2≥2xy+2yz+2zx⇔x2_+x2__+y2_+y2___+z2__+z2___−2xy_−2yz___−2zx__≥0⇔(x−y)2+(x−z)2+(y−z)2≥0
2n−1 که این عبارت همواره درست است.
پ)
برای هر سه عدد حقیقی x و y و z داریم :
x2+y2+1≥xy+x+y×2⇔2x2+2y2+2≥2xy+2x+2y⇔x2_+x2__+y2_+y2___+1__+1___−2xy_−2x__−2y___≥0⇔(x−y)2+(x−1)2+(y−1)2≥0
که این عبارت همواره درست است.
2)
x=0/1,x=−1,x=−2,⋯
3)
(I) گیریم α−β گویا باشد، از طرفی α+β گویاست، پس مجموع آن ها یعنی α+β+α−β=2α گویا بوده و در نتیجه α نیز گویاست که با فرض، تناقض دارد؛ پس α−β گنگ است.
(II) گیریم α+2β گویا باشد، از طرفی α+β گویاست، پس تفاضل آن ها یعنی α+2β−(α+β)=β گویاست که با فرض، تناقض دارد؛ پس α+2β گنگ است.
4)
x2+y2=x2+y2+2xy⇒2xy=0⇒x=0∨y=0
حداقل یکی از اعداد x و y باید صفر باشند؛ به طور مثال x = 0 و y = 7 جواب است.
5)
خیر؛ اثبات :
برهان خلف : گیریم چنین اعدادی وجود داشته باشد، بنابراین :
1a+b=1a+1b⇒1a+b=a+bab⇒(a+b)2=ab⇒a2+b2+2ab=ab⇒a2+b2+ab=0×2⇒2a2+2b2+2ab=0⇒(a+b)2+a2+b2=0⇒a=0∧b=0∧a+b=0
که تناقض است.
6)
الف)
صحیح است؛ زیرا :
عدد فرد : 2n−1,n∈Z⇒
مربع : (2n−1)2=4n2−4n+1=2(2n2−2n)+1→ فرد است
مکعب : (2n−1)3=8n3−12n2+6n−1=2(4n3−6n2+3n)−1→ فرد است
ب)
صحیح است؛ زیرا :
پنج عدد متوالی:
n+1,n+2,n+3,n+4,n+5,n∈N∪{0}
میانگین اعداد =5n+155=n+3= عدد وسطی

مای درس ، برترین اپلیکیشن کمک درسی ایران
پوشش تمام محتواهای درسی پایه چهارم تا دوازدهم- آزمون آنلاین تمامی دروس
- گام به گام تمامی دروس
- ویدئو های آموزشی تمامی دروس
- گنجینه ای از جزوات و نمونه سوالات تمامی دروس
- فلش کارت های آماده دروس
- گنجینه ای جامع از انشاء های آماده
- آموزش جامع آرایه های ادبی، دستور زبان، قواعد زبان انگلیسی و ... ویژه