گام به گام تمرین صفحه 29 درس آشنایی با نظریۀ اعداد ریاضیات گسسته

1)

\(1398\mathop  \equiv \limits^9 1 + 3 + 9 + 8\mathop  \equiv \limits^9 3 \Rightarrow\)

تعلق دارد

\({\left[ 3 \right]_{\;9}} = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|x = 9k + 3} \right\}\)

به دسته هم نهشتی

2)

باقیمانده تقسیم هر عدد صحیح همچون k بر عدد 3 ، یکی از اعداد 0 یا 1 یا 2 می باشد، به عبارت دیگر 3|k - 0 یا 3|k - 1 یا 3|k - 2 وطبق تعریف هم نهشتی \(k\mathop  \equiv \limits^3 0\)  یا  \(k\mathop  \equiv \limits^3 2\) .

3)

\(\begin{array}{l}a\mathop  \equiv \limits^m b \Rightarrow a - b\mathop  \equiv \limits^m 0\\ \Rightarrow m|a - b\quad \mathop  \Rightarrow \limits^{n|m} \quad \\n|a - b \Rightarrow a - b\mathop  \equiv \limits^n 0\\ \Rightarrow a\mathop  \equiv \limits^n b\end{array}\)

4)

\(\left. \begin{array}{l}a\mathop  \equiv \limits^m b\quad \mathop  \Rightarrow \limits^{d|m} \quad a\mathop  \equiv \limits^d b\\b\mathop  \equiv \limits^m c\quad \mathop  \Rightarrow \limits^{d|n} \quad b\mathop  \equiv \limits^d c\end{array} \right\} \Rightarrow a\mathop  \equiv \limits^d c\)

5)

روش اول : گیریم باقیمانده تقسیم دو عدد بر m برابر 2 باشد، در نتیجه :

\(\left. \begin{array}{l}a\mathop  \equiv \limits^m r\\b\mathop  \equiv \limits^m r\end{array} \right\} \Rightarrow a\mathop  \equiv \limits^m b\)

روش دوم :

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a = mq + r\\b = mq' + r\end{array} \right\} \Rightarrow a - b = m(q - q')\\\\ \Rightarrow m|a - b \Rightarrow a\mathop  \equiv \limits^m b\end{array}\)

6)

اگر \(a\mathop  \equiv \limits^m b\) آنگاه باقیمانده تقسیم دو عدد بر a و b بر m ، مساوی است.

اثبات :

گیریم باقیمانده تقسیم a بر  m برابر r₁ و باقیمانده تقسیم b بر m ، برابر r₂ باشد، پس :

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a = mq + {r_1}\\b = mq' + {r_2}\end{array} \right\} \Rightarrow a - b = m(q - q') + ({r_1} - {r_2})\quad \left( I \right)\\a\mathop  \equiv \limits^m b \Rightarrow a - b = mq''\quad \left( {II} \right)\\\\\left. \begin{array}{l}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( I \right)\;,\;\left( {II} \right)} \;\;mq'' = m(q - q') + ({r_1} - {r_2}) \Rightarrow ({r_1} - {r_2}) = m(q'' + q' - q) \Rightarrow m|{r_1} - {r_2}\\0 \le {r_1}\;,\;{r_2} < m \Rightarrow \left| {{r_1} - {r_2}} \right| < m\end{array} \right\} \Rightarrow \quad \left( {III} \right)\\\\\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( {III} \right)} \;\;{r_1} - {r_2} = 0 \Rightarrow {r_1} = {r_2}\end{array}\)

7)

\(\left. \begin{array}{l}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\0\end{array}} \right){a^n} = {a^n}\mathop  \equiv \limits^{ab} {a^n}\\\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\1\end{array}} \right){a^{n - 1}}b\mathop  \equiv \limits^{ab} 0\\\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\2\end{array}} \right){a^{n - 2}}{b^2}\mathop  \equiv \limits^{ab} 0\\\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\3\end{array}} \right){a^{n - 3}}{b^3}\mathop  \equiv \limits^{ab} 0\\\;\;\, \vdots \\\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\{n - 1}\end{array}} \right)a{b^{n - 1}}\mathop  \equiv \limits^{ab} 0\\\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\n\end{array}} \right){b^n} = {b^n}\mathop  \equiv \limits^{ab} {b^n}\end{array} \right\}\mathop  \Rightarrow \limits^ +  \;{(a + b)^n}\mathop  \equiv \limits^{ab} {a^n} + {b^n}\)

8)

طبق تمرین 7 ، می توان نوشت :

\(\begin{array}{l}{(23)^{51}} = {(11 + 12)^{51}}\\\mathop  \equiv \limits^{11 \times 12} {11^{51}} + {12^{51}} \Rightarrow {(23)^{51}} - ({11^{51}} + {12^{51}})\mathop  \equiv \limits^{132} 0\\ \Rightarrow {23^{51}} - {11^{51}} - {12^{51}}\mathop  \equiv \limits^{132} 0\end{array}\)

عدد \({23^{51}} - {11^{51}} - {12^{51}}\)  بر 132 بخش پذیر است.

9)

\(\begin{array}{l}{2^5}\mathop  \equiv \limits^{23} 9\;\;\mathop  \Rightarrow \limits^{{{(\;)}^2}} \;\;{2^{10}}\mathop  \equiv \limits^{23} 81\mathop  \equiv \limits^{23} 12\;\;\mathop  \Rightarrow \limits^{ \times 2} \;\;{2^{11}}\mathop  \equiv \limits^{23} 24\mathop  \equiv \limits^{23} 1\\\mathop  \Rightarrow \limits^{ + 7} \;\;{2^{11}} + 7\mathop  \equiv \limits^{23} 8\;\;\mathop  \Rightarrow \limits^{ \times 9} \;\;({2^{11}} + 7) \times 9\mathop  \equiv \limits^{23} 72\mathop  \equiv \limits^{23} 3\\ \Rightarrow r = 3\end{array}\)

10)

طبق تمرین 5 ، دو عدد \(3a - 5\) و \(4a - 7\) به پیمانه 10 ، با یکدیگر هم نهشت اند :

\(\begin{array}{l}4a - 7\mathop { \equiv \;}\limits^{10} 3a - 5 \Rightarrow 4a - 3a\mathop  \equiv \limits^{10} \;7 - 5\\ \Rightarrow a\mathop  \equiv \limits^{10} \;2\mathop {\;\; \Rightarrow \;\;}\limits^{ \times 9} 9\;a\mathop  \equiv \limits^{10} 18\;\;\mathop { \Rightarrow \;\;}\limits^{ + 6} 9a + 6\mathop  \equiv \limits^{10} 24\mathop  \equiv \limits^{10} \;4\\ \Rightarrow 9a + 6\mathop  \equiv \limits^{10} 4\end{array}\)

رقم یکان 4 است.

11)

\(\left. \begin{array}{l}1!\;\mathop  \equiv \limits^{10} \;1\\2!\;\mathop  \equiv \limits^{10} \;2\\3!\;\mathop  \equiv \limits^{10} \;6\\4!\;\mathop  \equiv \limits^{10} \;24\;\mathop  \equiv \limits^{10} \;4\\5!\;\mathop  \equiv \limits^{10} \;20\;\mathop  \equiv \limits^{10} \;0\\6!\;\mathop  \equiv \limits^{10} \;0\\\;\;\;\; \vdots \\500!\;\mathop  \equiv \limits^{10} \;0\end{array} \right\}\mathop  \Rightarrow \limits^ +  A\;\mathop  \equiv \limits^{10} \;1 + 2 + 6 + 4 + 0 +  \cdots  + 0 = 13\;\mathop  \equiv \limits^{10} \;3 \Rightarrow A\;\mathop  \equiv \limits^{10} \;3\)

رقم یکان عدد A ، 3 است :

12)

\(\begin{array}{l}7x + 5y = 11 \Rightarrow 7x =  - 5y + 11 \Rightarrow 7x\;\mathop  \equiv \limits^5 \;11\\\\ \Rightarrow 7x\;\mathop  \equiv \limits^5 \;11 + 2 \times 5 = 21\;\;\mathop  \Rightarrow \limits^{ \div 7} x\;\mathop  \equiv \limits^5 \;3\\\\ \Rightarrow x = 5k + 3\quad ,\quad k \in \mathbb{Z}\quad \\\\\mathop  \Rightarrow \limits^{7x + 5y = 11} \quad 7(5k + 3) + 5y = 11 \Rightarrow y =  - 7k - 2\quad ,\quad k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

13)

تعداد اسکناس های 2000 تومانی را x و تعداد اسکناس های 5000 تومانی را y در نظر می گیریم؛ بنابراین :

\(\begin{array}{l}2000x + 5000y = 29000\;\;\mathop  \Rightarrow \limits^{ \div 1000} \;\;2x + 5y = 29\\\\5y\;\mathop  \equiv \limits^2 \;29 \Rightarrow 5y\;\mathop  \equiv \limits^2 \;29 - 12 \times 2 = 5\\\\\;\mathop  \Rightarrow \limits^{ \div 5} \;y\;\mathop  \equiv \limits^2 \;1 \Rightarrow y = 2k + 1\\\\\mathop  \Rightarrow \limits^{2x + 5y = 29} \;2x + 5(2k + 1) = 29\\\\ \Rightarrow x =  - 5k + 12\end{array}\)

به 3 طریق می توان خرد کرد.

14)

(الف \(423\;\mathop  \equiv \limits^{11} \;79\)

\(\begin{array}{l}423\;\mathop  \equiv \limits^{11} \;79\\\left. \begin{array}{l}423\;\mathop  \equiv \limits^{11} \;5 \Rightarrow 423x\;\mathop  \equiv \limits^{11} \;5x\\79\;\mathop  \equiv \limits^{11} \;2\end{array} \right\}\\\\ \Rightarrow 5x\;\mathop  \equiv \limits^{11} \;2 \Rightarrow 5x\;\mathop  \equiv \limits^{11} \;2 + 3 \times 11 = 35\\\\\mathop  \Rightarrow \limits^{ \div 5} x\;\mathop  \equiv \limits^{11} \;7 \Rightarrow x = 11k + 7\quad ,\quad k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

(ب \(8x\;\mathop  \equiv \limits^{12} \;20\)

\(\begin{array}{l}8x\;\mathop  \equiv \limits^{12} \;20 - 12 = 8\\\\\mathop  \Rightarrow \limits_{(8\;,\;12) = 4}^{ \div 8} \;x\;\mathop  \equiv \limits^3 \;1\\\\ \Rightarrow x = 3k + 1\quad ,\quad k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

(ج \(51x\;\mathop  \equiv \limits^6 \;11\)

\((51, 6) = 3\) و 11 بر 3 بخش پذیر نیست بنابراین معادله جواب ندارد

15)

اسفند + بهمن + دی + آذر + آبان + مهر  \(= (30 - 1) + 4 \times 30 + 7\;\mathop  \equiv \limits^7 \;2\)

16)

بهمن + دی + آذر + آبان + مهر + شهریور  \(= 31 + 4 \times 30 + 12\;\mathop  \equiv \limits^7 \;2\)

در جدول برای روز جمعه عدد 2 را می نویسیم، سپس اعداد قبل و بعد آن را تعیین می کنیم؛ عدد صفر مربوط به روز 31 مرداد است.

17)

\(\begin{array}{l}5a + 9\;\mathop  \equiv \limits^{11} \;0 \Rightarrow 5a\;\mathop  \equiv \limits^{11} \; - 9\;\mathop  \equiv \limits^{11} \; - 9 + 4 \times 11 = 35\\\\\mathop  \Rightarrow \limits^{ \div 5} a\;\mathop  \equiv \limits^{11} \;7 \Rightarrow a = 11k + 7\quad ,\quad k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

18)

تعداد وزنه های 3 کیلویی را با x و تعداد وزن های 5 کیلویی را با y نمایش می دهیم؛ بنابراین :

\(\begin{array}{l}3x + 5y = 23 \Rightarrow 5y\;\mathop  \equiv \limits^3 \;23\;\mathop  \equiv \limits^3 \;23 - 3 = 20\\\\ \Rightarrow y\;\mathop  \equiv \limits^3 \;4 \Rightarrow y = 3k + 4\\\\\mathop  \Rightarrow \limits^{3x + 5y = 23} \;\;3x + 5(3k + 4) = 23\\\\ \Rightarrow x =  - 5k + 1\end{array}\)

به 2 طریق می توان وزن کرد.

19)

تعداد گل های نوع اول را x و تعداد گل های نوع دوم را y  می نامیم؛ بنابراین :

\(\begin{array}{l}x + y = 9 \Rightarrow x =  - y + 9 \Rightarrow x\;\mathop  \equiv \limits^1 \;9\\\\ \Rightarrow x = k + 9\\\\\mathop  \Rightarrow \limits^{x + y = 9} k + 9 + y = 9 \Rightarrow y =  - \;k\end{array}\)

به 10 طریق می توان یک دسته گل شامل 9 شاخه تهیه کرد.

20)

تعداد سؤالات 7 امتیازی گه امتیاز کامل گرفته را با x و تعداد سؤالات 9 امتیازی را که امتیاز کامل گرفته را با y  نمایش می دهیم؛ بنابراین :

\(\begin{array}{l}7x + 9y = 73 \Rightarrow 9y\;\mathop  \equiv \limits^7 \;73\;\mathop  \equiv \limits^7 \;3\\\\\mathop  \Rightarrow \limits^{ \div 3} \;3y\;\mathop  \equiv \limits^7 \;1\;\mathop  \equiv \limits^7 \;1 - 7 =  - 6\\\\\mathop  \Rightarrow \limits^{ \div 3} \;y\;\mathop  \equiv \limits^7 \; - 2 \Rightarrow y = 7k - 2\\\\\;\mathop  \Rightarrow \limits^{7x + 9y = 73} \;7x + 9(7k - 2) = 73\\\\ \Rightarrow x =  - 9k + 13\end{array}\)

\(k = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow\)

فقط به یک صورت می توانسته این امتیاز را کسب کند.