شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
الف اگر a و b دو عدد صحیح باشند و ab عددی فرد باشد، ثابت کنید \({a^2} + {b^2}\) زوج است.
ب A={3,4} یک زیرمجموعه از مجموعه S={1, 2, ... , 6} است و \(n \in S\). اگر \(\frac{{{n^2}.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\) یک عدد زوج باشد ثابت کنید \(n \in A\).
الف
فقط در حالتی ab که a و b هر دو فرد باشند، زیرا اگر حداقل یکی از آن ها زوج باشد، ab زوج خواهد شد. بنابراین با فرض \(a = 2n - 1\) و \(b = 2m - 1\) و \(m\;,\;n \in \mathbb{Z}\) داریم:
\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {(2n - 1)^2} + {(2m - 1)^2}\\\\ = 4{n^2} - 4n + 1 + 4{m^2} - 4m + 1\\\\ = 2(2{n^2} - 2n + 2{m^2} - 2m + 1)\end{array}\)
که حاصل عددی زوج است.
ب
کافیست هر شش عضو S را بررسی کنیم (در نظر گرفتن تمام حالت ها):
زوج نیست \(n = 1 \Rightarrow \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4} = \frac{{1 \times 4}}{4} = 1\)
زوج نیست \(n = 2 \Rightarrow \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4} = \frac{{4 \times 9}}{4} = 9\)
زوج است \(n = 3 \Rightarrow \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4} = \frac{{9 \times 16}}{4} = 36\)
زوج است \(n = 4 \Rightarrow \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4} = \frac{{16 \times 25}}{4} = 100\)
زوج نیست \(n = 5 \Rightarrow \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4} = \frac{{25 \times 36}}{4} = 225\)
زوج نیست \(n = 6 \Rightarrow \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4} = \frac{{36 \times 49}}{4} = 441\)
بنابراین فقط برای \(n = 3\) و \(n = 4\) ، عدد \(\frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4}\) یک عدد زوج می باشد، به عبارت دیگر \(n \in A\) است.
1736019749.png)
