شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
هریک از گزاره های زیر را اثبات و یا با ارائه مثال نقض رد کنید.
الف مجموع هر دو عدد فرد، عددی زوج است.
ب برای هر دو عدد حقیقی x و y : \(\sqrt {x + y} = \sqrt x + \sqrt y \)
پ برای هر عدد طبیعی بزرگ تر از 1، عدد \({2^n} - 1\) اول است.
ت مجموع هر دو عدد گویا، عددی گویاست.
ث اگر برای سه مجموعه A ، B و C داشته باشیم \(A \cup B = A \cup C\) آنگاه B=C.
ج اگر k حاصل ضرب دو عدد طبیعی متوالی باشد، آنگاه 4k+1 مربع کامل است.
الف گزاره صحیح است؛ اثبات :
کافی است دو عدد فرد را با \(2n - 1\) و \(2m - 1\) به فرض \(n\;,\;m\;,\;k \in \mathbb{Z}\) نمایش می دهیم. در این صورت :
\(2n - 1 + 2m - 1 = 2n + 2m - 2 = 2(n + m - 1) = 2k\)
عدد زوج
ب اگر \(x = 9\) و \(y = 16\) ، آنگاه :
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\sqrt {x + y} = \sqrt {9 + 16} = \sqrt {25} = 5\\\\\sqrt x + \sqrt y = \sqrt 9 + \sqrt {16} = 3 + 4 = 7\end{array} \right\}\\\\ \Rightarrow \sqrt {x + y} \ne \sqrt x + \sqrt y \end{array}\)
بنابراین گزاره صحیح نیست
پ اگر \(n = 4\) آنگاه \({2^4} - 1 = 15\) که عدد اول نیست؛ بنابراین گزاره غلط است.
ت گزاره صحیح است؛ اثبات :
کافیست دو عدد گویا را با \(\frac{a}{b}\) و \(\frac{c}{d}\) نمایش دهیم که \(a\;,\;b\;,\;c\;,\;d\;,\;p\;,\;q \in \mathbb{Z}\quad (b\;,\;d \ne 0)\) می باشند؛ بنابراین :
\(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{{ad + bc}}{{bd}} = \frac{p}{q}\)
عدد گویا
ث اگر \(A = \left\{ {1\;,\;2\;,\;3} \right\}\) و \(B = \left\{ {2\;,\;4} \right\}\) و \(C = \left\{ 4 \right\}\) ، آنگاه \(A \cup B = A \cup C = \left\{ {1\;,\;2\;,\;3\;,\;4} \right\}\) ولی \(B \ne C\)
ج گزاره صحیح است؛ اثبات:
کافیست \(k = n(n + 1)\) به فرض \(n\;,\;q \in \mathbb{N}\) در نظر گرفته شود؛ بنابراین:
\(4k + 1 = 4n(n + 1) + 1 = 4{n^2} + 4n + 1 = {(2n + 1)^2}\)
مربع کامل
1736019749.png)
