شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
الف اگر n یک عدد طبیعی باشد، آیا زوج بودن n و زوج بودن \({n^2}\) هم ارزند؟
ب آیا دو گزاره زیر هم ارزند؟
1 نقطه C روی عمود منصف پاره خط AB قرار دارد.
2 فاصله نقطه C از دو سر پاره خط AB یکسان است.
الف
بله، هم ارزند؛ اثبات:
گیریم n زوج است و نشان می دهیم \({n^2}\) زوج است:
\(n = 2k \Rightarrow {n^2} = 4{k^2} = 2\left( {2{k^2}} \right)\)
زوج است.
اثبات عکس:
گیریم \({n^2}\) زوج است و نشان می دهیم n زوج است:
برهان خلف:
اگر n زوج نباشد، پس n عددی فرد خواهد بود؛ یعنی:
\(n = 2k - 1 \Rightarrow {n^2} = 4{k^2} - 4k + 1 = 2(2{k^2} - 2k) + 1\)
فرد است \({n^2} \Rightarrow \) تناقض
بنابراین:
\({n^2}\) زوج است \( \Leftrightarrow \) n زوج است.
ب
1
اثبات \(1\;\; \Rightarrow \;2\)
فاصله نقطه C از دو سر پاره خط AB یکسان است.
2
اثبات \(2\;\; \Rightarrow \;1\)
با فرض AB = AC، ارتفاع OC وارد بر ضلع AB را رسم کرد. نشان می دهیم OC عمود منصف است:
OC عمود منصف پاره خط AB است.
بنابراین دو گزاره هم ارزند؛ یعنی:
\(1\;\; \Leftrightarrow \;\;2\)
1736019749.png)
