جواب کار در کلاس صفحه 27 درس 1 ریاضیات گسسته (آشنایی با نظریۀ اعداد)

1 با تبدیل معادلهٔ سیالهٔ 4x+5y=9 به معادلهٔ هم نهشتی و حل آن، جواب های عمومی این معادلهٔ سیاله را بیابید.

\(\begin{array}{l}4x + 5y = 9\; \Rightarrow \;4x\mathop \equiv \limits^ \cdots ...\\\\ \Rightarrow \;4x\mathop \equiv \limits^5 9 - \;...\; \Rightarrow \;4x\mathop \equiv \limits^5 4\\\\ \Rightarrow \;x\mathop \equiv \limits^5 ...\; \Rightarrow \;\left. {\underline {\, {\;x = 5k + \;...\;} \,}}\! \right| \\\\ \Rightarrow \;4(5k + 1) + 5y = 9\\\\ \Rightarrow \;20k + 4 + 5y = 9\\\\ \Rightarrow \;20k + 5y = 5\\\\ \Rightarrow \;4k + y = 1\; \Rightarrow \;\left. {\underline {\, {\;y = ...\,k + 1\;} \,}}\! \right| \end{array}\)

2 در قسمت 1 فعالیت قبل مشخص کنید به چند طریق می توان عمل وزن کردن را انجام داد.

کافی است جواب های عمومی معادلهٔ 4x+3y=19 را (بر حسب k) بیابیم و به ازای هر  که x و y منفی نباشند تعداد حالت ها را شمارش کنیم:

\(\begin{array}{l}4x + 3y = 19\; \Rightarrow \;4x = \;...\\\\ \Rightarrow \;4x\mathop \equiv \limits^3 \;1\; \Rightarrow \;4x\mathop \equiv \limits^3 \;1 + \;...\\\\ \Rightarrow \;4x\mathop \equiv \limits^3 \;4 \times 1\; \Rightarrow \underline {\;x = 3k + 1\;} \\\\ \Rightarrow \;4(3k + 1) + 3y = 19\\\\ \Rightarrow \;12k + 4 + 3y = 19\\\\ \Rightarrow \;12k + 3y = \;...\; \Rightarrow \;... + y = 5\\\\ \Rightarrow \;\underline {\;y = - 4k + 5\;} \\\\ \Rightarrow \;k = 0\; \Rightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 5\end{array} \right.\;\;,\;\;k = ...\; \Rightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} \right.\end{array}\)

به ازای k=2 و بیشتر از آن y<0 و به ازای k=-1 و کمتر از آن x<0 که قابل قبول نمی باشند و لذا به دو صورت فوق می توان این کیسهٔ 19 کیلویی را وزن کرد.