شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
1 با توجه به اینکه \(10\mathop \equiv \limits^3 1\) نتیجه می گیریم، \(\forall k \in N\;,\;{10^k}\mathop \equiv \limits^3 1\)، بنابراین، مشابه فعالیت قبل، باقی ماندهٔ تقسیم عدد A=598348 را بر 3 بیابید و سپس یک قاعده کلّی برای یافتن باقی مانده تقسیم و بخش پذیری اعداد n رقمی بر 3 بیان کنید.
\(A = 5 \times {10^5} + 9 \times {10^4} + 8 \times {10^3} + 3 \times {10^2} + 4 \times 10 + 8\)
\(\left. \begin{array}{l}{10^5}\mathop \equiv \limits^3 \;{1_{}}{\mathop \to \limits^{ \times 5} _{}}5 \times {10^5}\mathop \equiv \limits^3 \;5\\{10^4}\mathop \equiv \limits^3 \;1_{}\mathop \to \limits^{ \times 9} _{}9 \times {10^4}\mathop \equiv \limits^3 \;9\\{10^3}\mathop \equiv \limits^3 \;1_{}\mathop \to \limits^{ \times 8} _{}8 \times {10^3}\mathop \equiv \limits^3 \;8\\{10^2}\mathop \equiv \limits^3 \;1_{}^{}\mathop \to \limits^{ \times 3} _{}3 \times {10^2}\mathop \equiv \limits^3 \;3\\10\mathop \equiv \limits^3 \;{1_{}}{\mathop \to \limits^{ \times 4} _{}}4 \times 10\mathop \equiv \limits^3 \;4\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}&{}\end{array}\quad \,\,\,{\kern 1pt} 8\mathop \equiv \limits^3 8\end{array} \right\}\mathop \to \limits^ + A\mathop \equiv \limits^3 5 + 9 + 8 + 3 + 4 + 8 \Rightarrow A\mathop \equiv \limits^3 1 \Rightarrow r = 1 \)
قاعده : باقیمانده تقسیم هر عدد بر 3 ، برابر است با باقیمانده تقسیم مجموع ارقام آن عدد بر 3.
2 می دانیم که \(10\mathop \equiv \limits^{11} \; - 1\) بنابراین برای هر n زوج، \(10\mathop \equiv \limits^{11} \;1\) و برای هر n فرد \({10^n}\mathop \equiv \limits^{11} \; - 1\)، حال اگر در هم نهشتی به پیمانهٔ 11 و در بسط عدد A=4985327 به جای توان های زوجِ عدد 10 ، عدد یک و به جای توان های فرِد عدد 10 ، عدد (1-) قرار دهیم باقی ماندهٔ تقسیم عدد A را بر 11 بیابید.
\(\begin{array}{l}A = 4 \times {10^6} + 9 \times {10^5} + 8 \times {10^4} + \;...\; + 2 \times 10 + 7\\\\ \Rightarrow A\mathop \equiv \limits^{11} \;4 \times \;...\; + \;...\; \times ( - 1) + \;...\; \times 1 + ... + 2 \times ( - 1) + 7\\\\ \Rightarrow A\mathop \equiv \limits^{11} \;7 - 2 + 3 - 5 + 8 - 9 + 4 = 6\; \Rightarrow \;r = ...\end{array}\)
\(\begin{array}{l}A = 4 \times {10^6} + 9 \times {10^5} + 8 \times {10^4} + \;...\; + 2 \times 10 + 7\\\\ \Rightarrow A\mathop \equiv \limits^{11} \;4 \times \;1\; + \;9\; \times ( - 1) + \;8\; \times 1 + ... + 2 \times ( - 1) + 7\\\\ \Rightarrow A\mathop \equiv \limits^{11} \;7 - 2 + 3 - 5 + 8 - 9 + 4 = 6\; \Rightarrow \;r = 6\end{array}\)
3 می دانیم \(10\mathop \equiv \limits^2 \;0\) و \(10\mathop \equiv \limits^5 \;0\) و \(10\mathop \equiv \limits^{10} \;...\) در این صورت:
\(\forall \;k \in N\;,\;{10^k}\mathop \equiv \limits^2 ...\) و \({10^k}\mathop \equiv \limits^5 ...\) و \({10^k}\mathop \equiv \limits^{10} \;0\)
بنابراین اگر در بسط هر عدد n رقمی مانند \(A = \overline {{a_{n - 1}}\,{a_{n - 2}}\;...\;{a_2}\,{a_1}\,{a_0}} \) به جای توان های عدد 10 (در هم نهشتی های به پیمانهٔ 2 و 5 و 10) صفر قرار دهیم خواهیم داشت:
\(\begin{array}{l}A = {10^{n - 1}}\,{a_{n - 1}} + {10^{n - 2}}\,{a_{n - 2}} + \;...\; + {10^2}\,{a_2} + {10^1}\,{a_1} + {a_0}\\\\ \Rightarrow A\mathop \equiv \limits^2 0 \times \,{a_{n - 1}} + \;...\; + \;...\; + ...\; \times {a_2} + \;...\; + {a_0}\\\\ \Rightarrow A\mathop \equiv \limits^2 \;...\;\;,\;\;A\mathop \equiv \limits^5 \;...\;\;,\;\;A\mathop \equiv \limits^{10} {a_0}\end{array}\)
نتیجهٔ حاصل را برای یافتن باقی ماندهٔ تقسیم اعداد n رقمی بر 2 و 5 و 10 و شرط بخش پذیری بر این اعداد را بیان کنید.
\(\begin{array}{l}A = {10^{n - 1}}\,{a_{n - 1}} + {10^{n - 2}}\,{a_{n - 2}} + \;...\; + {10^2}\,{a_2} + {10^1}\,{a_1} + {a_0}\\\\ \Rightarrow A\mathop \equiv \limits^2 0 \times \,{a_{n - 1}} + \;0 \times \,{a_{n - 2}}\; + \;...\; + \;0\; \times {a_2} + 0 \times \,{a_1} + {a_0}\\\\ \Rightarrow A\mathop \equiv \limits^2 \;{a_0}\;\;,\;\;A\mathop \equiv \limits^5 \;{a_0}\;\;,\;\;A\mathop \equiv \limits^{10} {a_0}\end{array}\)
تعیین بخش پذیری بر عدد 2:
باقیمانده تقسیم هر عدد بر 2، همان باقیمانده تقسیم رقم یکان آن عدد بر 2 می باشد. بنابراین عددی بر 2 بخش پذیر است که رقم یکان آن بر 2 بخش پذیر باسد؛ یعنی زقم بکان آن عددی زوج باشد.
تعیین بخش پذیری بر عدد 5:
باقیمانده تقسیم هر عدد بر 2، همان باقیمانده تقسیم رقم یکان آن عدد بر 5 می باشد. بنابراین عددی بر 5 بخش پذیر است که رقم یکان آن بر 5 بخش پذیر باسد؛ یعنی زقم بکان آن صفر یا 5 باشد.
تعیین بخش پذیری بر عدد 10:
باقیمانده تقسیم هر عدد بر 10، همان رقم یکان آن می باشد. بنابراین عددی بر 10 بخش پذیر است یکان آن صفر باشد.
1736019749.png)
