جواب تمرین صفحه 58 درس 5 ریاضی هفتم (شمارنده ها و اعداد اول)

زمانی عددی شمارندۀ عدد دیگری خواهد بود که از تقسیم عدد دیگر بر آن عدد، باقی مانده صفر شود؛ به طور مثال، زمانی 17 شمارندۀ 247 خواهد بود که از تقسیم عدد 247 بر 17، باقی مانده صفر شود. در غیر این صورت، 17 شمارندۀ عدد 247 نخواهد بود:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,247\,\,\,\,\underline {|\,\,\,\,\,\,\,\,17\,\,\,\,\,\,\,} \\\underline { - \,\,\,\,17\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \,\,\,\,\,14\\\,\,\,\,\,\,\,\,77\\\underline { - \,\,\,68\,\,\,\,\,\,} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,9\end{array}\)

چون باقی مانده صفر نیست (مقدار باقی مانده برابر با 9 می باشد)، بنابراین عدد 17 شمارندۀ عدد 247 نیست.

بله؛ زیرا وقتی که عددی بر 3 بخش پذیر باشد، یعنی اینکه می توان آن عدد را به دسته های 3 تایی تقسیم کرد و باقی مانده نیز صفر خواهد بود و این یعنی عدد 3، شمارندۀ آن عدد است.

اعداد زیادی هستند که عدد 5 شمارندۀ آن هاست؛ هر فردی می تواند به دلخواه اعددی را بنویسد. البته این نکته را به یاد داشته باشیم که فقط اعدادی بر 5 بخش پذیر خواهند بود که یکان آن ها برابر با صفر (0) یا 5 باشد؛ به عنوان مثال، اعداد زیر بر 5 بخش پذیر خواهند بود:

10     ,     30     ,     555     ,     1250     ,     …

با توجه به اینکه عدد 15 را می توان به صورت 5 × 3 نوشت، بنابراین اعدادی بر 15 بخش پذیر هستند که هم بر 3 و هم بر 5 بخش پذیر باشند؛ حال چه اعدادی برای این دو عدد بخش پذیر هستند؟ پاسخ را در زیر آورده ایم:

بخش پذیری اعداد بر 3:

اعدادی بر 3 بخش پذیر هستند که مجموع ارقام آن ها بر 3 بخش پذیر هستند.

بخش پذیری اعداد بر 5:

اعدادی بر 5 بخش پذیر هستند که رقم یکان آن ها صفر یا 5 باشد.

با توجه به به تعاریفی که در بالا آورده ایم، خواهیم داشت:

\(\begin{array}{l}345\,\,\,:\\\\3 + 4 + 5 = 12\end{array}\)

عدد 345 بر 3 بخش پذیر است؛ زیرا که مجموع ارقام آن یعنی عدد 12 بر 3 بخش پذیر است.

همچنین رقم یکان این عدد 5 می باشد؛ بنابراین عدد 345 بر 5 بخش پذیر است.

در نتیجه عدد 345 بر عدد 15 بخش پذیر می باشد.

\(\begin{array}{l}924\,\,\,:\\\\9 + 2 + 4 = 15\end{array}\)

عدد 924 بر 3 بخش پذیر است؛ زیرا که مجموع ارقام آن یعنی عدد 15 بر 3 بخش پذیر است.

رقم یکان عدد 924، 5 یا صفر (0) نیست؛ بنابراین بر عدد 5 بخش پذیر نیست.

در نتیجه عدد 924 بر عدد 15 بخش پذیر نیست.

\(\begin{array}{l}555\,\,\,:\\\\5 + 5 + 5 = 15\end{array}\)

عدد 555 بر 3 بخش پذیر است؛ زیرا که مجموع ارقام آن یعنی عدد 15 بر 3 بخش پذیر است.

همچنین رقم یکان این عدد 5 می باشد؛ بنابراین عدد 555 بر 5 بخش پذیر است.

در نتیجه عدد 555 بر عدد 15 بخش پذیر می باشد.

\(\begin{array}{l}360\,\,\,:\\\\3 + 6 + 0 = 9\end{array}\)

عدد 360 بر 3 بخش پذیر است؛ زیرا که مجموع ارقام آن یعنی عدد 9 بر 3 بخش پذیر است.

همچنین رقم یکان این عدد صفر (0) می باشد؛ بنابراین عدد 360 بر 5 بخش پذیر است.

در نتیجه عدد 360 بر عدد 15 بخش پذیر می باشد.

\(\begin{array}{l}24 \Rightarrow 1\,,\,2\,,\,3\,,\,4\,,\,6\,,\,12\,,\,24\\\\18 \Rightarrow 1\,,\,2\,,\,3\,,\,6\,,\,9\,,\,18\\\\20 \Rightarrow 1\,,\,2\,,\,4\,,\,5\,,\,10\,,\,20\\\\30 \Rightarrow 1\,,\,2\,,\,3\,,\,5\,,\,6\,,\,10\,,\,15\,,\,30\\\\40 \Rightarrow 1\,,\,2\,,\,4\,,\,5\,,\,8\,,\,10\,,\,20\,,\,40\\\\50 \Rightarrow 1\,,\,2\,,\,5\,,\,10\,,\,25\,,\,50\end{array}\)

* عدد 29 اول است. P

* هر عدد حداقل 2 شمارنده دارد. ×

دلیل: عدد یک (1) تنها یک شمارنده دارد.

* تمام عددهای اول، فرد هستند؛ چون اگر زوج باشند، عدد 2 شمارندهٔ آنها می شود. ×

دلیل: عدد 2 هم زوج است و هم عدد اوّل.

* اگر عددی غیر از خودش و یک، شمارندهٔ دیگری داشت، حتماً اول نیست. P

ابتدا تعداد کل دانش آموزان کلاس را به دست می آوریم:

= تعداد کل دانش آموزان کلاس

\((4 \times 3) + (6 \times 4) = 12 + 24 = 36\)

این کلاس 36 دانش آموز دارد.

حالا شمارنده های عدد 36 را به دست می آوریم:

\(36 \Rightarrow 1\,,\,2\,,\,3\,,\,4\,,\,6\,,\,9\,,\,12\,,\,18\,,\,36\)

از آنجا که گروه ها باید به تعداد مساوی دانش آموز داشته باشند و هر گروه نیز حتما باید بین 2 تا 7 نفر عضو داشته باشد، در نتیجه شمارنده هایی را که تعداد اعضای آن ها بین 2 تا 7 است، را انتخاب می کنیم؛ پس خواهیم داشت:

3 , 6 , 9

در نتیجه در 3 حالت می توان این کار را انجام داد:

12 گروهِ 3 نفره

9 گروهِ 4 نفره

6 گروهِ 6 نفره

الف

به دلیل خاصیت جا به جایی در ضرب، عبارت \(3 \times 6 = 18\) را می توان به دو صورت زیر نوشت:

\(:\,\,\,3 \times 6 = 18\)

یعنی 3 دستۀ 6 تایی ؛ یعنی 18 را می توان 6 تا 6 تا شمرد؛ یعنی 6 شمارندۀ 18 است.

\(:\,\,\,6 \times 3 = 18\)

یعنی 6 دستۀ 3 تایی ؛ یعنی 18 را می توان 3 تا 3 تا شمرد؛ یعنی 3 شمارندۀ 18 است.

ب

خیر؛ به طور مثال شمارنده های عدد9، اعداد 1، 3 و 9 هستند؛ در نتیجه عدد 9، سه شمارنده دارد و مشخص است که تعداد 3، فرد است.

9 ، 3 ، 1 : شمارنده های عدد 9

خیر؛ چون عدد بدست آمده دارای دو شمارنده (همان دو عدد اول) است؛ به طور مثال:

5 × 3 = 15

* مجموع دو عدد طبیعی فرد همیشه عددی زوج است.

* مجموع دو عدد طبیعی زوج همیشه عددی زوج است.

* مجموع یک عدد زوج و یک فرد همیشه عددی فرد است.

خیر؛ زیرا دو عدد 2 و 13، اعداد اول هستند ولی حاصل جمع آن ها عدد 15 می شود که بر اعداد 3 و 5 بخش پذیر است؛ در نتیجه یک عدد مرکب است.

2 + 13 = 15 :

1 + 5 = 6

عدد 15 بر 3 بخش پذیر است؛ زیرا که مجموع ارقام آن یعنی عدد 6 بر 3 بخش پذیر است.

یکان عدد 15، عدد 5 است؛ بنابراین 15 بر 5 نیز بخش پذیر است.