جواب تمرین صفحه 67 درس 5 ریاضی هفتم (شمارنده ها و اعداد اول)

باید ک.م.م دو عدد 20 و 30 را بدست آوریم، بنابراین خواهیم داشت:

\(\left\{ \begin{array}{l}20 = 2 \times 2 \times 5\\\\30 = 2 \times 3 \times 5\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {20\,,\,30} \right] = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 60\)

مشخص است که هر 60 دقیقه یک بار اتوبوس ها هم زمان از این دو خط حرکت می کنند؛ پس در ساعت 13:00 دو اتوبوس هم زمان از خط های A و B از ترمینال حرکت خواهند کرد.

ک.م.م دو عدد را باید به دست بیاوریم تا ببینیم که پس از چند دقیقه آن ها دوباره با هم به نقطۀ شروع می رسند. برای این کار ابتدا دو عدد را تجزیه می کنیم:

\(\left\{ \begin{array}{l}21 = 3 \times 7\\\\35 = 5 \times 7\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {21\,,\,35} \right] = 3 \times 5 \times 7 = 105\)

پس از 105 ثانیه، امید و فرامرز دوباره با هم به نقطۀ شروع می رسند.

برای اینکه بدانیم هر کدام از آن ها چند دور دویده اند، باید مشخص کنیم فاصلۀ زمانی 105 ثانیۀ بین دو نقطۀ شروع مشترک چندین مضرب فاصلۀ زمانی دویدن هر کدام از آن ها برای یک دور است؛ یعنی باید ببینیم که 105 چندمین مضرب 21 (فاصلۀ زمانی که فرامرز برای هر یک دور صرف کرده است) و همچنین چندمین مضرب 35 (فاصلۀ زمانی که امید برای هر یک دور صرف کرده است) می باشد؛ پس خواهیم داشت:

105 چندمین مضرب 21 است:

\(\frac{{105}}{{21}} = 5\)

پس فرامرز 5 دور در این زمان دویده است.

105 چندمین مضرب 35 است:

\(\frac{{105}}{{35}} = 3\)

پس امید 3 دور در این زمان دویده است.

الف

بله؛ زیرا 210 حاصل ضرب عدد 7 در عدد 30 است.

ب

بله؛ زیرا 420 هم بر عدد 7 و هم بر عدد 30 بخش پذیر است.

پ

چون اعداد طبیعی نهایتی ندارند، پس دو عدد بی شمار مضرب مشترک دارند.

الف

اگر عدد a بر عدد b بخش پذیر باشد، پس a را می توان b تا b تا شمرد؛ یعنی:

\(a = n \times b\)

عدد a ، nاُمین مضرب b است.

همچنین می دانیم که هر عدد کوچکترین مضرب خودش است؛ یعنی:

\(a = 1 \times a\)

در نتیجه خواهیم داشت:

\(a:\,\,\,\,\,a\,,\,2a\,,\,3a\,,\,4a\,,\, \cdots \) مضارب

\(b:\,\,\,\,\,b\,,\,2b\,,\,3b\,,\,4b\,,\, \cdots \,,\,\underbrace {n \times b}_a\,,\, \cdots \) مضارب

\( \Rightarrow \left[ {a\,,\,b} \right] = a\)

ب

اگر در نظر بگیریم که ب.م.م دو عدد a و b برابر عدد یک باشد، در این صورت دو عدد a و b به جز عدد یک و خودشان نباید شمارندۀ دیگری داشته باشند، پس خواهیم داشت:

\(\left. \begin{array}{l}a = 1 \times a\\\\b = 1 \times b\end{array} \right\} \Rightarrow \left[ {a\,,\,b} \right] = 1 \times a \times b = a \times b\)

پس اگر ب.م.م دو عدد a و b عدد یک باشد، ک.م.م آن ها \(a \times b\) خواهد بود.

پ

اگر دو عدد a و b اوّل باشند، ب.م.م آن ها مساوی 1 خواهد بود و با توجه به رابطۀ بالا ک.م.م آن ها \(a \times b\) خواهد بود.

الف

\(\begin{array}{l}n = 20\\\\ \Rightarrow n = \left[ {1\,,\,n} \right] \Rightarrow 20 = \left[ {1\,,\,20} \right]\end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l}n = 20\\\\ \Rightarrow n = \left[ {n\,,\,n} \right] \Rightarrow 20 = \left[ {20\,,\,20} \right]\end{array}\)

پ

\(\left. \begin{array}{l}b.m.m = \left( {5\,,\,10} \right) = 5\\\\k.m.m = \left[ {5\,,\,10} \right] = 10\end{array} \right\} \Rightarrow \frac{{k.m.m}}{{b.m.m}} = \frac{{\left[ {5\,,\,10} \right]}}{{\left( {5\,,\,10} \right)}} = \frac{{10}}{5} = 2\)

چون مقدار ک.م.م بر مقدار ب.م.م بخش پذیر است، بنابراین مقدار ب.م.م شمارندۀ مقدار ک.م.م می باشد.

ت

\( = 5 \times 10 = 50\) حاصل ضرب دو عدد 5 و 10

\( = \left( {5\,,\,10} \right) = 5\) ب.م.م دو عدد 5 و 10

\( = \left[ {5\,,\,10} \right] = 10\) ک.م.م دو عدد 5 و 10

\( \Rightarrow 50 = 5 \times 10\)

\(\begin{array}{l}\left( {20\,,\,30} \right) = 10\\\\\left( {5\,,\,7} \right) = 1\\\\\left( {15\,,\,3} \right) = 3\\\\\left[ {12\,,\,4} \right] = 12\\\\\left[ {30\,,\,50} \right] = 150\\\\\left( {38\,,\,19} \right) = 19\\\\\left[ {15\,,\,30} \right] = 30\\\\\left( {4\,,\,9} \right) = 1\\\\\left[ {4\,,\,9} \right] = 36\\\\\left[ {3\,,\,2\,,\,7} \right] = 42\\\\\left( {3\,,\,2\,,\,7} \right) = 1\\\\\left[ {4\,,\,6} \right] = 12\end{array}\)