جواب تمرین صفحه 64 درس 5 ریاضی هفتم (شمارنده ها و اعداد اول)

ابتدا تمام شمارنده های عددهای 12 و 18 را بدست می آوریم:

12 ، 6 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1 : شمارنده های 12

18 ، 9 ، 6 ، 3 ، 2 ، 1 : شمارنده های 18

سپس شمارنده های مشترک 12 و 18 را مشخص می کنیم:

6 ، 3 ، 2 ، 1 : شمارنده های مشترک 12 و 18

پیمانه های 1 ، 2 ، 3 و 6 لیتری برای این کار مناسب هستند. برای پیدا کردن بزرگترین پیمانه، ب.م.م دو عدد 12 و 18 را پیدا می کنیم:

\((12\,,\,18) = 6\)

بنابراین بزرگترین پیمانه، پیمانۀ 6 لیتری است.

باید ب.م.م این سه عدد را بدست آوریم. برای این کار ابتدا باید تمام شمارنده های اوّل این سه عدد را بدست آوریم:

ب.م.م این سه عدد، 4 است؛ در نتیجه بزرگترین ضلع این مکعب باید 4 سانتی متر باشد:

\((12\,,\,36\,,\,28) = 2 \times 2 = 4\)

28 ، 36 ، 12 : ابعاد مکعب مستطیل

4 ، 4 ، 4 : ابعاد مکعب های کوچکتر

\( = \frac{{12 \times 36 \times 28}}{{4 \times 4 \times 4}} = \) تعداد مکعب های کوچکتر

\(\begin{array}{l}\frac{{(3 \times \not 4) \times (9 \times \not 4) \times (7 \times \not 4)}}{{\not 4 \times \not 4 \times \not 4}} = \\\\3 \times 9 \times 7 = 189\end{array}\)

بنابراین کمترین تعداد مکعبی که ای مکعب مستطیل را پر می کند، 189 عدد می باشد.

الف

می دانیم که هر عدد اوّل (a و b) را می توان فقط به صورت حاصل ضرب خودش در عدد یک نوشت:

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 \times a\\\\b = 1 \times b\end{array} \right. \Rightarrow \) شمارندۀ مشترک عدد 1 است  \( \Rightarrow (a\,,\,b) = 1\)

ب

بزرگترین شمارندۀ هر عدد برابر است با خود آن عدد و وقتی آن عدد بر عدد دیگر هم بخش پذیر باشد، در نتیجه شمارندۀ آن عددِ دیگر نیز می شود و با توجه به اینکه هم شمارندۀ خودش است و هم شمارندۀ آن عدد دیگر و از خودش نیز بزرگتر در شمارنده های دو عدد وجود ندارد، در نتیجه ب.م.م دو عدد است.

توضیح مختصر:

چون عدد کوچک‌تر، عدد بزرگ‌تر را می‌شمرد.

پ

هر عدد را می توانیم به صورت حاصل ضرب خودش در عدد یک نوشت؛ بنابراین:

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 \times a\\\\b = 1 \times b\end{array} \right. \Rightarrow \) کوچکترین شمارندۀ مشترک دو عدد \( \Rightarrow (a\,,\,b) = 1\)

\(\frac{{96}}{{144}} = \frac{{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3}}{{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3}} = \frac{2}{3}\)

\(\frac{{35}}{{245}} = \frac{{5 \times 7}}{{5 \times 7 \times 7}} = \frac{1}{7}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}91 = 7 \times \underline {13} \\\\117 = 3 \times 3 \times \underline {13} \end{array} \right. \Rightarrow (91\,,\,117) = 13\)

\(\left\{ \begin{array}{l}216 = 2 \times 108\\\\108 = 1 \times 108\end{array} \right. \Rightarrow (216\,,\,108) = 108\)

\(\left\{ \begin{array}{l}121 = 11 \times \underline {11} \\\\55 = 5 \times \underline {11} \end{array} \right. \Rightarrow (121\,,\,55) = 11\)

الف

n هر عددی می تواند باشد؛ پس:

\(\begin{array}{l}(5\,,\,5) = 5\\\\(100\,,\,100) = 100\end{array}\)

ب

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 12 \Rightarrow 1\,,\,2\,,\,3\,,\,4\,,\,6\,,\,12\\\\b = 6 \Rightarrow 1\,,\,2\,,\,3\,,\,6\end{array} \right. \Rightarrow (12\,,\,6) = 6\)

6 شمارندۀ 6 است   6 = 6 × 1

6 شمارندۀ 12 است  12 = 6 × 2

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 20 \Rightarrow 1\,,\,2\,,\,4\,,\,5\,,\,10\,,\,20\\\\b = 10 \Rightarrow 1\,,\,2\,,\,5\,,\,10\end{array} \right. \Rightarrow (20\,,\,10) = 10\)

10 شمارندۀ 10 است   10 = 10 × 1

10 شمارندۀ 20 است   20 = 10 × 2

پ

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 3 \Rightarrow 1\,,\,3\\\\b = 7 \Rightarrow 1\,,\,7\end{array} \right. \Rightarrow (a\,,\,b) = (3\,,\,7) = 1\\\\\left\{ \begin{array}{l}a = 3 \Rightarrow 1\,,\,3\\\\b = 7 \Rightarrow 1\,,\,2\,,\,3\,,\,6\end{array} \right. \Rightarrow (a\,,\,b) = (3\,,\,6) = 3\end{array}\)