جواب تمرین صفحه 61 درس 5 ریاضی هفتم (شمارنده ها و اعداد اول)

خیر؛ چون شمارنده های اوّل صورت کسر از ضریب و تکرار اعداد 2 و 3 هستند، در صورتی که شمارنده های اوّل مخرج کسر از ضرب و تکرار اعداد 5 و 7 هستند و به همین دلیل هیچ کدام از شمارنده های اوّل صورت با هیچ یک از شمارنده های اوّل مخرج برابر نیست تا بتوان آن ها را با هم ساده کرد. در نتیجه این کسر را نمی توان ساده کرد.

\(\begin{array}{l}\frac{3}{5} = \frac{{3 \times 2}}{{5 \times 2}} = \frac{6}{{10}}\\\\\frac{3}{5} = \frac{{3 \times 2 \times 3}}{{5 \times 2 \times 3}} = \frac{{18}}{{30}}\\\\\frac{3}{5} = \frac{{3 \times 5 \times 3}}{{5 \times 5 \times 3}} = \frac{{45}}{{75}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\\\\2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 48\\\\2 \times 2 \times 3 \times 3 = 36\end{array}\)

الف

5 ، 3 و 2

ب

برای این کار باید حداقل دو شمارندۀ اوّل آن را در هم ضرب کنیم:

\(\begin{array}{l}2 \times 2 = 4\\\\2 \times 3 = 6\\\\2 \times 5 = 10\\\\3 \times 5 = 15\\\\2 \times 3 \times 5 = 30\\\\ \cdots \end{array}\)

\(\begin{array}{l}b = 4 \times 3 \times 15 \times 6\\\\4 = 2 \times 2\\\\15 = 3 \times 5\\\\6 = 2 \times 3\\\\ \Rightarrow b = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 2 \times 3\end{array}\)

شمارنده های اوّل عدد b، اعداد 2، 3 و 5 هستند.

5 و 1 : شمارنده های عدد 5

7 و 1 : شمارنده های عدد 7

13 و 1 : شمارنده های عدد 13

حالا شمارنده های اوّل هر کدام از عددها را مشخص می کنیم و زیر آن ها خط می کشیم:

5 و 1 : شمارنده های عدد 5

7 و 1 : شمارنده های عدد 7

13 و 1 : شمارنده های عدد 13

بنابراین می توان گفت:

«اعداد اوّل، اعدادی هستند که شمارندۀ اوّل آن ها، تنها خودشان هستند.»

الف تمام عددها شمارندهٔ اول دارند. ×

دلیل: زیرا تنها شمارندۀ عدد یک (1) خودش است که عدد اوّل نیست.

ب اگر عددی زوج باشد، یکی از شمارنده های اولش 2 است. P

ج هیچ عددی پیدا نمی شود که 5 شمارندهٔ اول داشته باشد. ×

دلیل: می توان نوشت که عدد \(2310 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11\) است؛ بنابراین عدد 5 شمارندۀ اوّل دارد.

اعداد دیگری نیز وجود دارند که بیش از 5 شمارندۀ اوّل داشته باشند.