جواب تمرین صفحه 81 درس 4 حسابان دوازدهم (مشتق)

\(\begin{array}{l}f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{3{x^2} + 2x + 1 - 9}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{3{x^2} + 2x - 8}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)(3x + 4)}}{{x - 2}}\\\quad \quad \;{\kern 1pt} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (3x + 4) = 10\\ \Rightarrow y - 9 = 10(x - 2)\\ \Rightarrow y - 9 = 10x - 20\quad \Rightarrow \quad y = 10x - 11\end{array}\)

معادله خط مماس: \(y = 10x - 11\)

الف

\({m_1}\)

ب

\({m_2}\)

پ

\({m_3}\)

ت

\({m_4}\)

ث

\({m_5} = 0\)

ج

\({m_6} = 1\)

\({m_5} < {m_2} < {m_3} < {m_4} < {m_6} < {m_1}\)

\(\begin{array}{l}f( - 1) = {( - 1)^3} - 2 = - 3\\ \Rightarrow f'( - 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \; - 1} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \; - 1} \frac{{{x^3} - 2 + 3}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \; - 1} \frac{{{x^3} + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \; - 1} \frac{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}}{{x + 1}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array}\;\;\;{\kern 1pt} {\kern 1pt} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \; - 1} ({x^2} - x + 1) = 3\end{array}\)

الف

نادرست؛ مثلاً در نقطه F شیب منفی است.

ب

نادرست.

پ

درست.

ت

درست.

ث

نادرست؛ \({m_C} < {m_D} < {m_F}\)

ج

نادرست.

نقطه A که بر روی نمودار قرار دارد؛ پس مختصات آن معلوم است : \(A\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4\\{25}\end{array}} \right.\)

حال نقاط B و C بر روی خطی قرار دارند که در نقطه A بر نمودار مماس هستند؛ پس بایستی ابتدا معادله خط مماس بر نمودار در نقطه A را بدست می آوریم و از آنجا مختصات باقی نقاط را محاسبه می کنیم:

\(\begin{array}{l}m = f'(4) = 1/5\\y - {y_A} = m(x - {x_A}) \Rightarrow y - 25 = 1/5(x - 4) \Rightarrow y = 1/5x + 19\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 5 \Rightarrow {y_B} = 26/5 \Rightarrow \quad B\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5\\{26/5}\end{array}} \right.\\{x_C} = 3 \Rightarrow {y_C} = 23/5 \Rightarrow \quad C\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{23/5}\end{array}} \right.\end{array} \right.\end{array}\)