شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
نمودار تابع \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\;\;\;\;\;x \ne 2\\1\;\;\;\;\;\;\;x = 2\end{array} \right.\) (شکل مقابل) را درنظر می گیریم:
الف چگونه به کمک نمودار تابع و تعریف مشتق به عنوان شیب خط مماس می توانید استدلال کنید که f’(2) وجود ندارد؟
اگر برای بررسی مشتق پذیری این تابع در x=2 تعریف مشتق f در x=2 را به کار گیریم:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 2}} = \)
حد صورت کسر برابر 3 است و حد مخرج کسر برابر صفر است. وقتی \(x \to 2\) ، داریم:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 2}} = + \infty \)=حد راست
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 2}} = + \infty \) =حد چپ
بنابراین \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}\) موجود (و متناهی) نیست، پس f’(2) وجود ندارد.
ب نقطه دیگری (به جز x=2) در نظر بگیرید. آیا تابع در این نقطه مشتق پذیر است؟ پاسخ خود را با پاسخ دوستانتان مقایسه کنید.
الف
شیب خط های قاطع که از نقطۀ \(x = 2\) می گذرند، به عدد حقیقی و منحصر بفردی میل نمی کنند:
ب
بله؛ هر نقطه ای که طول آن به غیر از x=2 باشد، تابع در آن مشتق پذیر خواهد بود.
1736019749.png)
