جواب فعّالیت صفحه 93 درس 3 ریاضی و آمار دهم انسانی (کار با داده های آماری)

می خواهیم با همان مثال خیریهٔ درس قبل، بحث را ادامه دهیم. اگر انحراف معیار مجموعه داده ها کوچک باشد، بدین معناست که درآمد همهٔ افراد به هم نزدیک است. اگر انحراف معیار بزرگ باشد، بدین معناست که درآمد افراد آن انجمن، بسیار متفاوت است. انحراف معیار درآمد اعضا به صورت زیر محاسبه می شود.

الف به کمک جدول زیر، این کار را انجام دهید.

ب زمانی که میلیاردر وارد انجمن خیریه می شود، انحراف معیار داده ها برابر است با  ..................

این دو مقدار با هم اختلاف زیادی دارند. چرا و چه باید کرد؟ زمانی را به خاطر بیاورید که معیار گرایش به مرکز را برای این داده ها محاسبه کردیم. برای رفع آن مشکل به جای میانگین، میانه را به کار بردیم. مشابه همان کار را می توانیم انجام دهیم. معیار پراکندگی ای که تعریف می شود، انحراف معیار نیست. ما آن را دامنهٔ میان چارکی می نامیم و با IQR نشان می دهیم. «میانه» جایی در وسط داده هاست؛ به طور مشابه، چارک ها هم یک چهارم و یک دوم و سه چهارم مشاهدات هستند. به عبارت ساده تر اگر برای داده های مرتب شده قبل از میانه، یک میانه حساب کنیم، همان چارک اول است و به همین صورت میانهٔ داده های بعد از میانه، چارک سوم خواهد بود. چارک دوم هم همان میانه است. برای سادگی از نمادهای Q₁ و Q₂ و Q₃ به ترتیب برای چارک اول، میانه (چارک دوم)، و چارک سوم استفاده می شود.

پ جدول زیر را برای مثال خیّرین مدرسه تکمیل کنید.

این اعداد، امکان مشاهدهٔ چند چیز را به شما می‌دهند: میلیاردر مسبب درهم‌ریختگی میانگین درآمد و انحراف معیار بوده است؛ اما میانه و دامنهٔ میان‌چارکی همچنان ثابت ماندند. این یکی از دلایلی است که ما می‌گوییم اگر دادهٔ دورافتاده داشته باشیم، بهتر است از میانه (و در نتیجه دامنهٔ میان‌چارکی) به‌جای میانگین استفاده کنید. در این صورت، نتیجهٔ بهتری از داده‌ها به دست می‌آورید. همچنین زمانی که تعداد داده ها زیاد باشد، می توانید از تفاوت معیا رهای گرایش به مرکز و پراکندگی نتیجه بگیرید که داده دورافتاده وجود داشته است. دلیل دیگر استفاده از میانه و دامنهٔ میان چارکی، تفسیر سادهٔ آنها در مقابل تفسیر میانگین و انحراف معیار است. اگر نتایج مطالعات مربوط به سرطان را ملاحظه کنیم، اولین چیزی که در گزارش ها مشاهده می کنیم، مشخصات عمومی بیماران مورد مطالعه است: آنها چند سال سن دارند؟ نسبت مردان به زنان چقدر است؟ چند نفر بیماریشان زود تشخیص داده شده و در مراحل ابتدایی است و چند نفر بیماریشان عود کرده است؟ اگر در گزارش، میانگین و انحراف معیار را ذکر کنیم، هر خواننده ای می تواند از روی اطلاعات داده شده، با توجه به دو قانون ذکر شده، نحوهٔ توزیع سنین بیماران را به دست آورد. اما نکته در اینجاست که آنها این کار را نخواهند کرد. به ندرت می توانید یک پزشک متخصص سرطان بسیار پرمشغله را در حال فکر کردن به این مسئله ببینید که، «خوب ... میانگین 64/3 و انحراف معیار 9/8 است؛ 68 درصد از بیماران در فاصلۀ یک برابر انحراف معیار از میانگین هستند؛ این یعنی، \(64/3 \pm 9/8\)، که می شود ...، یک لحظه صبر کنید ...، ماشین حسابم کجاست؟» شما فقط می توانید با نگاهی سریع به میانه و دامنهٔ میان چارکی، تصور خوبی نسبت به توزیع داده های پیش رویتان به دست آورید.به عبارت دیگر، میانه و دامنهٔ میان چارکی در توصیف مجموعه داده ها بسیار مفیدند و این دقیقاً همان کاری است که ما از آنها انتظار داریم انجام دهند:

همه آماره هایی که در اینجا ذکر شد (میانگین ها، میانه ها، انحراف های معیار، دامنه های میان چارکی) تحت عنوان آمار توصیفی شناخته می شوند.