جواب تمرین صفحه 70 درس 2 ریاضی و آمار دهم انسانی (تابع)

رسم نمودار \(y = {x^2} - 2x\)

\(\begin{array}{l}y = {x^2} - 2x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\\\b = - 2\\\\c = 0\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow {x_s} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 2)}}{{2(1)}} = 1\\\\ \Rightarrow {y_s} = {x_s}^2 - 2{x_s} = \\\\{(1)^2} - 2(1) = 1 - 2 = - 1\end{array}\)

\(:\,S = (1\,,\, - 1)\) رأس

رسم نمودار \(y = - {(x - 1)^2} + 1\)

\(\begin{array}{l}y = - {(x - 1)^2} + 1 = - {x^2} + 2x\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\\\b = 2\\\\c = 0\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow {x_s} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 2}}{{2( - 1)}} = 1\\\\ \Rightarrow {y_s} = - {x_s}^2 + 2{x_s} = \\\\ - {(1)^2} + 2(1) = - 1 + 2 = 1\end{array}\)

\(:\,S = (1\,,\,1)\) رأس

رسم نمودار \(y = {x^2} + 4x + 1\)

\(\begin{array}{l}y = {x^2} + 4x + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\\\b = 4\\\\c = 1\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow {x_s} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 4}}{{2(1)}} = - 2\\\\ \Rightarrow {y_s} = {x_s}^2 + 4{x_s} + 1 = \\\\{( - 2)^2} + 4( - 2) + 1 = 4 - 8 + 1 = - 3\end{array}\)

\(:\,S = ( - 2\,,\, - 3)\) رأس

\(:\,P(x) = R(x) - C(x) = \) سود

\(\begin{array}{l} - \frac{1}{2}{x^2} + 30x - (18x + 40) = \\\\ - \frac{1}{2}{x^2} + 12x - 40\end{array}\)

به این علت که تابع سود، درجه 2 می باشد و یک تابع سهمی هست، بنابراین، ماکسیمم مقدار سود در نقطه رأس این سهمی می باشد:

\(\begin{array}{l}y = - \frac{1}{2}{x^2} + 12x - 40 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\\\b = 12\\\\c = - 40\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow {x_s} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 12}}{{2( - \frac{1}{2})}} = 12\\\\ \Rightarrow {y_s} = - \frac{1}{2}{x_s}^2 + 12{x_s} - 40 = \\\\ - \frac{1}{2}{(12)^2} + 12(12) - 40 = \\\\ - 72 + 144 - 40 = 32\end{array}\)

\(:\,S = (12\,,\,32)\) رأس

مقدار ماکزیمم سود برابر با 32 می باشد.

محیط : P ، مساحت : S ، طول : x و عرض : y

\(\begin{array}{l}P = 2(x + y) = 26\\\\ \Rightarrow x + y = 13 \Rightarrow y = 13 - x\\\\S = x.y = x(13 - x) = - {x^2} + 13x\end{array}\)

به این علت که تابع مساحت (S) یک تابع سهمی می باشد، کافی است تا نقطه رأس این سهمی را بدست آوریم تا مقدار x که به ازای آن مقدار مساحت ماکسیمم می شود را محاسبه کنیم؛ داریم:

\(\begin{array}{l}S = - {x^2} + 13x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\\\b = 13\\\\c = 0\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow {x_M} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 13}}{{2( - 1)}} = 6/5\\\\ \Rightarrow {S_M} = - {x_M}^2 + 13{x_M} = \\\\ - {(6/5)^2} + 13(6/5) = \\\\ - 42/25 + 84/5 = 42/25\end{array}\)

\(:\,M = (6/5\,,\,42/25)\) رأس

همانطور که در نمودار می بینیم، مقدار x برابر با 6/5 می باشد که در این صورت مقدار ماکسیمم مساحت برابر با 42/25 می شود.

\(\begin{array}{l}2x + a = 100 \Rightarrow a = 100 - 2x\\\\y = xa = x(100 - 2x)\\\\ \Rightarrow y = - 2{x^2} + 100x\end{array}\)

تابع درجه 2 می باشد و بنابراین، مقدار ماکسیمم در رأس اتفاق می افتد:

\(\begin{array}{l}y = - 2{x^2} + 100x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = - 2\\\\B = 100\\\\C = 0\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow {x_s} = \frac{{ - B}}{{2A}} = \frac{{ - 100}}{{2( - 2)}} = 25\\\\ \Rightarrow a = 100 - 2x = 100 - 50 = 50\\\\ \Rightarrow {y_s} = {x_s}a = 25 \times 50 = 1250\end{array}\)

\(:\,S = (25\,,\,1250)\) رأس

بنابراین مقدار ماکسیمم برابر با 1250 می باشد.

الف

\(:\,C(x) = {x^2} + 40x + 100\) هزینه

\(:\,R(x) = 200x\) درآمد

\(:\,P(x) = R(x) - C(x) = \) سود

\(\begin{array}{l}200x - {x^2} - 40x - 100 = \\\\ - {x^2} + 160x - 100\end{array}\)

ب

تابع درجه 2 و سهمی : ماکزیمم در راس اتفاق می افتد:

\(\begin{array}{l}P(x) = - {x^2} + 160x - 100\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\\\b = 160\\\\c = - 100\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow {x_s} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 160}}{{2( - 1)}} = 80\end{array}\)

یعنی 80 لامپ در روز تولید کند تا بیشترین سود را داشته باشد.

پ

\(\begin{array}{l}{x_s} = 80\\\\ \Rightarrow P(80) = - {(80)^2} + 160(80) - 100 = \\\\ - 6400 + 12800 - 100 = 6300\end{array}\)