شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
1 در پرتاب یک تاس فرض کنید پیشامد A ظاهر شدن عدد زوج، پیشامد B ظاهر شدن عددی مضرب 3 و پیشامد C ظاهر شدن عددی بزرگ تر از 2 باشد. مستقل یا غیرمستقل بودن هر دو پیشامد را بررسی کنید.
ابتدا احتمال رخ دادن هر پیشامد را محاسبه می کنیم:
\(\begin{array}{l}A = \left\{ {2\:,\:4\:,\:6} \right\} \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\\\\B = \left\{ {3\:,\:6} \right\} \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\\\\C = \left\{ {3\:,\:4\:,\:5\:,\:6} \right\} \Rightarrow P\left( C \right) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\end{array} \)
احتمال ظاهر شدن عدد زوج به شرط ظاهر شدن مضرب 3:
\(\begin{array}{l}A \cap B = \left\{ 6 \right\} \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{6}\\\\ \Rightarrow P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{6}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{2}\\\\ \Rightarrow P\left( {\left. A \right|B} \right) = P\left( A \right)\end{array}\)
پیشامد A مستقل از پیشامد B می باشد.
احتمال ظاهر شدن عدد زوج به شرط ظاهر شدن عددی بزرگ تر از 2:
\(\begin{array}{l}A \cap C = \left\{ {4\:,\:6} \right\} \Rightarrow P\left( {A \cap C} \right) = \frac{1}{3}\\\\ \Rightarrow P\left( {\left. A \right|C} \right) = \frac{{P\left( {A \cap C} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{2}\\\\ \Rightarrow P\left( {\left. A \right|C} \right) = P\left( A \right)\end{array}\)
پیشامد A مستقل از پیشامد C می باشد.
2 یک سکه را سه بار پرتاب می کنیم. احتمال رو آمدن سکه در پرتاب سوم را به دست آورید، به شرط اینکه در دو پرتاب اول و دوم، پشت ظاهر شده باشد.
ظاهر شدن پشت : p
ظاهر شدن رو : r
\(\begin{array}{l}S{\rm{ }} = \left\{ {\left( {r,r,r} \right),\left( {r,r,p} \right),\left( {r,p,r} \right),} \right.\\\\\left( {r,p,p} \right),\left( {p,r,r} \right),\left( {p,r,p} \right),\\\\\left. {\left( {p,p,r} \right),\left( {p,p,p} \right)} \right\}\end{array}\)
احتمال رو شدن سکه در پرتاب سوم:
\(\begin{array}{l}A = \left\{ {\left( {r\:,\:r\:,\:r} \right)\:,\:\left( {r\:,\:p\:,\:r} \right)\:,\:} \right.\\\\\left. {\left( {p\:,\:r\:,\:r} \right)\:,\:\left( {p\:,\:p\:,\:r} \right)} \right\}\\\\ \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\end{array}\)
احتمال پشت شدن سکه در پرتاب اول و دوم:
\(\begin{array}{l}B = \left\{ {\left( {p\:,\:p\:,\:r} \right)\:,\:\left( {p\:,\:p\:,\:p} \right)} \right\}\\\\ \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\\\\ \Rightarrow P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{1}{2}\end{array}\)
احتمال رو شدن سکه در پرتاب سوم به شرط پشت شدن سکه در پرتاب اول و دوم:
\(P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{1}{2}\)
3 فرض کنید A و B دو پیشامد ناتهی و مستقل از یکدیگرند.
الف نشان دهید A' و B مستقل اند.
ب با توجه به (الف) نشان دهید A' و B' نیز مستقل اند.
الف
چون پیشامدهای A و B مستقل اند، داریم:
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \times P\left( B \right)\)
می خواهیم ثابت کنیم :
\(P\left( {A' \cap B} \right) = P\left( {A'} \right) \times P\left( B \right)\)
داریم:
\(\begin{array}{l}P\left( {A'} \right) \times P\left( B \right) = \\\\\left( {1 - P\left( A \right)} \right) \times P\left( B \right) = \\\\P\left( B \right) - P\left( A \right) \times P\left( B \right) = \\\\P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) = \\\\P\left( {B - A} \right) = \\\\P\left( {B \cap A'} \right) = P\left( {A' \cap B} \right)\end{array}\)
ب
می خواهیم ثابت کنیم :
\(P\left( {A' \cap B'} \right) = P\left( {A'} \right) \times P\left( {B'} \right)\)
داریم:
\(\begin{array}{l}P\left( {A'} \right) \times P\left( {B'} \right) = \\\\\left( {1 - P\left( A \right)} \right) \times \left( {1 - P\left( B \right)} \right) = \\\\1 - P\left( A \right) - P\left( B \right) + P\left( A \right) \times P\left( B \right) = \\\\1 - \left( {P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)} \right) = \\\\1 - P\left( {A \cup B} \right) = \\\\P\left( {{{\left( {A \cup B} \right)}^\prime }} \right) = P\left( {A' \cap B'} \right)\end{array}\)
1736019749.png)
