جواب تمرین صفحه 142 درس 6 ریاضی یازدهم تجربی (حد و پیوستگی)

الف

f(2) = 2(2) + 1 = 5

g(2) = وجود ندارد

h(2) = 3

ب

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \;f\left( x \right) = 5\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \;g\left( x \right) = 5\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \;h\left( x \right) = 5\)

پ تابع f ؛ زیرا حد تابع آن و مقدار تابع در آن نقطه باهم برابرند:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 5\)

همان طور که در شکل مشاهده می کنیم تابع f فقط در نقطه 2 = x ناپیوسته است و در باقی نقاط پیوسته می باشد.

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}}\;\;\:,\;\;\:x \ne 3\\\end{array}\\{6\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\;\;\:,\;\;\:x = 3}\end{array}} \right.\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}} = \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)}} = \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x + 3} \right) = 6\\\begin{array}{*{20}{l}}{}\\{f\left( 3 \right) = 6}\end{array}\\\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\end{array}\)

تابع f در نقطه 2 = x پیوسته است

\(\begin{array}{l}g\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}} = \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)}} = \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x + 3} \right) = 6\\\\g\left( 3 \right) = \not \exists \end{array}\)

تابع g در نقطه 2 = x ناپیوسته است

تابع f(x) = [x] فقط در نقاط به طول صحیح ناپیوسته است و پیوستگی از راست دارد و در نقاط دیگر پیوسته می باشد.

 \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow f:\)ناپیوسته

پیوسته \(x \notin \mathbb{Z} \Rightarrow f:\)

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} - 2x + 2\;\;\:,\;\;\:x \le 0\\\end{array}\\{{x^2} + 2\;\;\:\;\;\:,\;\;\:x > 0}\end{array}} \right.\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right) = \\\\{\left( {{0^ + }} \right)^2} + 2 = 2\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - 2x + 2} \right) = \\\\ - 2\left( {{0^ - }} \right) + 2 = 2\\\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 2\\\\f\left( 0 \right) = - 2\left( 0 \right) + 2 = 2\\\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\end{array}\) 

تابع f در نقطه 0 = x پیوسته است

تابع f در تمام نقاط دامنه اش پیوسته است:

\({x_0} \in \mathbb{R} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} - x\;\;\:,\;\;\:x \ne 1\\\end{array}\\{1\;\;\:\;\;\:,\;\;\:x = 1}\end{array}} \right.\\\\\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = - 1\\\\f\left( 1 \right) = 1\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) \ne f\left( 1 \right)\end{array}\)

تابع f در 1 = x پیوسته است:

الف

f(2) = 2(2) + 10 = 14

f(5) = 2(5) + 10 = 20

ب خیر؛ تابع f در 1 = x ناپیوسته است؛ زیرا تابع در این نقطه حد ندارد:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 2\left( 1 \right) + 10 = 12\\\end{array}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 6\left( 1 \right) + 4 = 10}\end{array}} \right.\\\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\\\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \not \exists \end{array}\)

حد وجود ندارد