شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
1 اگر a عدد حقیقی مثبت \(\left( {a \ne 1} \right)\) باشد، همواره داریم:
\({\log _a}1 = 0\;\;,\;\;{\log _a}a = 1\;\;,\;\;{\log _a}\left( {\frac{1}{a}} \right) = - 1\)
2 برای اعداد حقیقی و مثبت a و b و c \(\left( {c \ne 1} \right)\) داریم:
\({\log _c}ab = {\log _c}a + {\log _c}b\)
اثبات: فرض کنیم \(n = {\log _c}b\;,\;m = {\log _c}a\) پس طبق تعریف \(a = ….\) و \(b = ….\) از این رو \(ab = {c^m}.\;{c^n} = ...\) بنابراین طبق تعریف لگاریتم داریم: \({\log _c}ab = ....\) و در نتیجه:
\({\log _c}ab = {\log _c}a + {\log _c}b\)
\(a{\rm{ }} = {\rm{ }}{c^m}\)، \(b{\rm{ }} = {\rm{ }}{c^n}\)، \(ab = {c^m}.\;{c^n} = {c^{m + n}}\)، \({\log _c}ab = m + n\)
مثال: فرض کنید log2 = 0/3 و log3 = 0/48، مقدار log6 را حساب کنید.
\(\log 6 = \log \left( {3 \times 2} \right) = \log 3 + \log 2 = 0/48 + 0/3 = 0/78\)
3 اگر a و b اعدادی حقیقی و مثبت و \(a \ne 1\) و n یک عدد طبیعی باشد، داریم:
\({\log _a}{b^n} = n{\log _a}b\)
اثبات:
4 برای اعداد حقیقی و مثبت a و b و c \(\left( {c \ne 1} \right)\) داریم:
\({\log _c}\left( {\frac{a}{b}} \right) = {\log _c}a - {\log _c}b\)
اثبات: فرض می کنیم \(\frac{a}{b} = d\) . بنابراین:
\(\begin{array}{l}a = bd\; \to \;{\log _c}a = {\log _c}b + {\log _c}d\; \to \;{\log _c}d = {\log _c}a - ........\\\\{\log _c}\frac{a}{b} = .....\; - {\log _c}b\end{array}\)
\(\begin{array}{l}a = bd\; \to \;{\log _c}a = {\log _c}b + {\log _c}d\; \to \;{\log _c}d = {\log _c}a - {\log _c}b\\\\{\log _c}\frac{a}{b} = {\log _c}a - {\log _c}b\end{array}\)
1736019749.png)
