شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
نسبت های مثلثاتی زاویهٔ \(\frac{{2\pi }}{3}\) رادیان را به دست آورید.
چون انتهای کمان زاویهٔ \(\frac{{2\pi }}{3}\) رادیان در ربع دوم واقع است، به دو روش می توان نسبت های مثلثاتی آن را یافت.
روش اول – زاویه \(\frac{{2\pi }}{3}\) رادیان و \(\frac{\pi }{3}\) رادیان مکمل یکدیگرند؛ یعنی \(\frac{{2\pi }}{3} = \pi - \frac{\pi }{3}\) ، بنابراین:
\(\begin{array}{l}\sin \frac{{2\pi }}{3} = \sin \left( {\pi - \frac{\pi }{3}} \right) = ............... = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\cos \frac{{2\pi }}{3} = ............... = - \cos \frac{\pi }{3} = ...............\\\tan \frac{{2\pi }}{3} = ............... = ............... = ...............\\\cot \frac{{2\pi }}{3} = ............... = ............... = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\sin \frac{{2\pi }}{3} = \sin \left( {\pi - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\cos \frac{{2\pi }}{3} = \cos \left( {\pi - \frac{\pi }{3}} \right) = - \cos \frac{\pi }{3} = - \;\frac{1}{2}\\\tan \frac{{2\pi }}{3} = \tan \left( {\pi - \frac{\pi }{3}} \right) = - \tan \frac{\pi }{3} = - \sqrt 3 \\\cot \frac{{2\pi }}{3} = \cot \left( {\pi - \frac{\pi }{3}} \right) = - \cot \frac{\pi }{3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)
روش دوم - اختلاف دو زاویهٔ \(\frac{{2\pi }}{3}\) رادیان و \(\frac{{\pi }}{6}\) رادیان برابر با \(\frac{{\pi }}{2}\) رادیان است؛ یعنی \(\frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{6}\) . بنابراین با توجه به علامت نسبت های مثلثاتی در ربع دوم:
\(\begin{array}{l}\sin \frac{{2\pi }}{3} = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\cos \frac{{2\pi }}{3} = \cos \left( {............} \right) = - \sin .......... = - \frac{1}{2}\\\tan \frac{{2\pi }}{3} = ............. = - \cot \frac{\pi }{6} = .............\\\cot \frac{{2\pi }}{3} = ............... = ................ = ................\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\sin \frac{{2\pi }}{3} = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\cos \frac{{2\pi }}{3} = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{6}} \right) = - \sin \frac{\pi }{6} = - \frac{1}{2}\\\tan \frac{{2\pi }}{3} = \tan \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{6}} \right) = - \cot \frac{\pi }{6} = - \sqrt 3 \\\cot \frac{{2\pi }}{3} = \cot \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{6}} \right) = - \tan \frac{\pi }{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)
1736019749.png)
