شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
یادآوری می کنیم برای رسم زاویه در دایرهٔ مثلثاتی نقطهٔ A در شکل مقابل مبدأ حرکت است. برخی از زوایا از یک دور کامل دایرهٔ مثلثاتی یعنی °360 بزرگ ترند مانند زاویهٔ °405.
برای رسم چنین زاویه ای ابتدا در جهت مثلثاتی یک دور کامل را طی می کنیم؛ سپس ادامهٔ زاویه را که به اندازه °45 است رسم می کنیم. در این حالت دو زاویه °405 و °45 را هم انتها می نامیم.
الف دو زاویۀ α و β را هم انتها گوییم؛ هرگاه اضلاع انتهایی آنها بر هم منطبق شود (شکل مقابل). اگر دو زاویه هم انتها باشند، اختلاف آنها مضرب زوجی از π رادیان یا °180 است. مثلاً زاویه های °405 و °45 هم انتها هستند؛ زیرا 405°-45°=360° (شکل سمت راست) در این حالت نسبت های مثلثاتی زاویه های °405 و °45 یکسان اند. چون انتهای کمان زاویهٔ °45 در ربع اول است، بنابراین:
\(\begin{array}{l}\sin {405^\circ } = \sin \left( {{{360}^\circ } + {{45}^\circ }} \right) = \sin {45^\circ } = ........\\\cos {405^\circ } = .................. = ........... = ........\\\tan {405^\circ } = .................. = ........... = ........\\\cot {405^\circ } = .................. = ........... = ........\end{array}\)
ب حال همین بررسی را روی زاویهٔ \(\frac{{5\pi }}{3}\) رادیان انجام دهید؛ چون \(\frac{{5\pi }}{3} = 2\pi - ..........\) بنابراین دو زاویه ...... و \(\frac{{5\pi }}{3}\) رادیان هم انتها هستند (شکل سمت راست).
پ چون انتهای کمان زاویهٔ \(\frac{{5\pi }}{3}\) رادیان در ربع چهارم است؛ بنابراین:
\(\begin{array}{l}\sin \frac{{5\pi }}{3} = \sin \left( {2\pi - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\frac{{ - \pi }}{3}} \right) = .......\\\cos \frac{{5\pi }}{3} = ........................\\\tan \frac{{5\pi }}{3} = ........................\\\cot \frac{{5\pi }}{3} = ........................\end{array}\)
الف
\(\begin{array}{l}\sin {405^\circ } = \sin \left( {{{360}^\circ } + {{45}^\circ }} \right) = \sin {45^\circ } = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\cos {405^\circ } = \cos \left( {{{360}^ \circ } + {{45}^ \circ }} \right) = \cos {45^ \circ } = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\tan {405^\circ } = \tan \left( {{{360}^ \circ } + {{45}^ \circ }} \right) = \tan {45^ \circ } = 1\\\cot {405^\circ } = \cot \left( {{{360}^ \circ } + {{45}^ \circ }} \right) = \cot {45^ \circ } = 1\end{array}\)
ب
\(\frac{{5\pi }}{3} = 2\pi - \frac{\pi }{3}\)
\(\frac{\pi }{3}\)
پ
\(\begin{array}{l}\sin \frac{{5\pi }}{3} = \sin \left( {2\pi - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\frac{{ - \pi }}{3}} \right) = - \sin \frac{\pi }{3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\cos \frac{{5\pi }}{3} = \cos \left( {2\pi - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}\\\tan \frac{{5\pi }}{3} = \tan \left( {2\pi - \frac{\pi }{3}} \right) = \tan \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = - \tan \frac{\pi }{3} = - \sqrt 3 \\\cot \frac{{5\pi }}{3} = \cot \left( {2\pi - \frac{\pi }{3}} \right) = \cot \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = - \cot \frac{\pi }{3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)
1736019749.png)
