شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
1 برای تابع f که نمودار آن داده شده، کدام یک درست و کدام یک نادرست است؟
الف \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \;f\left( x \right) = 2\)
ب f(1) = 2
پ f(2) = 1
ت \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \;f\left( x \right) = 0\)
ث \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \;f\left( x \right) = 2\)
ج \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \;f\left( x \right) = 1\)
چ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \;f\left( x \right)\) وجود ندارد.
ح \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \;f\left( x \right)\) وجود ندارد.
الف نادرست
ب درست
پ نادرست
ت درست
ث نادرست
ج درست
چ درست
ح درست
2 مثالی از یک تابع، همراه با نمودار آن ارائه کنید که حد تابع در نقطهٔ 2 مساوی 1- باشد.
3 تابعی مانند f ارائه کنید که در نقطهٔ 3 حد نداشته باشد. f(3) = 1
4 تابعی مانند f ارائه کنید که در نقطهٔ 2 تعریف نشده باشد. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \;f\left( x \right) = 4\)
5 دربارهٔ تابع با ضابطه \(f\left( x \right) = \sqrt {x - 2} \) موارد زیر را در صورت وجود محاسبه کنید:
الف \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \;f\left( x \right)\)
ب \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \;f\left( x \right)\)
پ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \;f\left( x \right)\)
ت f(2)
الف
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x - 2} = \sqrt {{2^ + } - 2} = \sqrt {{0^ + }} = 0\)
ب
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \sqrt {x - 2} = \sqrt {{2^ - } - 2} = \sqrt {{0^ - }} = \not \exists \)
پ
\(\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 0\\\end{array}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \not \exists }\end{array}\\\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\\\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \not \exists \end{array}\)
ت
\(f\left( 2 \right) = \sqrt {2 - 2} = \sqrt 0 = 0\)
6 تابع با ضابطه \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\;\;\;\;\;\;\;x > 0\\\\ - x\;\;\;\;\;x < 0\end{array} \right.\) را در نظر می گیریم.
آیا f در نقطه صفر حد دارد؟ آیا f(0) موجود است؟
بله؛ حد دارد:
\(\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x = 0\\\end{array}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x} \right) = 0}\end{array}\\\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 0\\\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 0\end{array}\)
خیر؛ f(0) تعریف نشده است.
7 توابع زیر را در نظر بگیرید و به سؤالات پاسخ دهید:
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 2x + 1\\\\g\left( x \right) = 2x + 1\;\;\left( {x \ne 2} \right)\\\\h\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 1\;\;\;\;x \ne 2\\\\3\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
الف مقادیر f(2) ، h(2) و g(2) را در صورت وجود به دست آورید.
ب حدهای زیر را محاسبه کنید:
\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h\left( x \right) = \\\end{array}\\\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = \\\end{array}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = }\end{array}\)
الف
f(2) = 2(2) + 1 = 5
g(2) = وجود ندارد
h(2) = 3
ب
\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {2x + 1} \right) = 2\left( 2 \right) + 1 = 5\\\end{array}\\\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {2x + 1} \right) = 2\left( 2 \right) + 1 = 5\\\end{array}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {2x + 1} \right) = 2\left( 2 \right) + 1 = 5}\end{array}\)
8 آیا حد تابع زیر در x=2 موجود است؟
\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} - x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,x > 2\\\\ - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 2\\\\x - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 2\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - x + 2} \right) = - 2 + 2 = 0\\\end{array}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 3} \right) = 2 - 3 = - 1}\end{array}\\\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\\\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \not \exists \end{array}\)
وجود ندارد
9 نمودار تابع با ضابطۀ \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,x > 0\\\\ - 2x - 2\;\;\;\;\;\;x \le 0\end{array} \right.\) را رسم کنید و حد تابع در صفر را در صورت وجود بیابید.
\(\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right) = \\\\{\left( 0 \right)^2} + 2 = 2\\\end{array}\\\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - 2x - 2} \right) = \\\\ - 2\left( 0 \right) - 2 = - 2\end{array}\end{array}\\\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\\\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \not \exists \end{array}\)
وجود ندارد
10 اگر \(f\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|}}{x}\) نمودار f را رسم کنید. آیا \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \;f\left( x \right)\) موجود است؟
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|}}{x} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1\;\;\:,\;\;\:\;\;\:x > 0}\\{ - 1\;\;\:,\;\;\:x < 0}\end{array}} \right.\\\\\left. {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( 1 \right) = 1\\\end{array}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - 1} \right) = - 1}\end{array}} \right\}\\\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\\\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \not \exists \end{array}\)
وجود ندارد
1736019749.png)
