شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
اگر هر یک از داده های آماری با مقدار ثابتی جمع شود، واریانس آنها تغییر نخواهد کرد. چرا؟
زیرا میانگین هم به همان مقدار اضافه می شود، در نتیجه اختلاف از میانگین تغییر نمی کند.
\(\begin{array}{l}\sigma _{x + a}^2 = \frac{\begin{array}{l}{\left( {\left( {{x_1} + a} \right) - \left( {\bar x + a} \right)} \right)^2} + \\{\left( {\left( {{x_2} + a} \right) - \left( {\bar x + a} \right)} \right)^2} + \\ \cdots + \\{\left( {\left( {{x_N} + a} \right) - \left( {\bar x + a} \right)} \right)^2}\end{array}}{N} = \\\\\frac{\begin{array}{l}{\left( {{x_1} - \bar x} \right)^2} + {\left( {{x_2} - \bar x} \right)^2} + \\ \cdots + {\left( {{x_N} - \bar x} \right)^2}\end{array}}{N} = {\sigma ^2}\end{array}\)
اگر هر یک از داده های آماری در مقدار ثابتی ضرب شود، واریانس آنها در مجذور همان مقدار ثابت ضرب خواهد شد. چرا؟
چون میانگین در همان عدد ضرب می شود، پس اختلاف از میانگین ها هم در همان عدد ضرب می شود و همچنین که اختلاف از میانگین ها به توان 2 می رسد، این عدد هم به توان 2 می رسد؛ در نتیجه واریانس هم در توان 2 این عدد ضرب می شود.
\(\begin{array}{l}\sigma _{ax}^2 = \frac{{\left( \begin{array}{l}{\left( {a{x_1} - a\bar x} \right)^2} + \\{\left( {a{x_2} - a\bar x} \right)^2} + \\ \cdots + \\{\left( {a{x_N} - a\bar x} \right)^2}\end{array} \right)}}{N} = \\\\\frac{{\left( \begin{array}{l}{a^2}{\left( {{x_1} - \bar x} \right)^2} + \\{a^2}{\left( {{x_2} - \bar x} \right)^2} + \\ \cdots + \\{a^2}{\left( {{x_N} - \bar x} \right)^2}\end{array} \right)}}{N} = \\\\ = \frac{{{a^2}\left( \begin{array}{l}{\left( {{x_1} - \bar x} \right)^2} + \\{\left( {{x_2} - \bar x} \right)^2} + \\ \cdots + \\{\left( {{x_N} - \bar x} \right)^2}\end{array} \right)}}{N} = {a^2} \cdot {\sigma ^2}\end{array}\)
1736019749.png)
