شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
1 از سال گذشته به یاد داریم که برای گویا کردن مخرج کسرهایی که شامل یک عبارت رادیکالی هستند، می توانیم آن کسر را در یک عبارت رادیکالی مناسب، ضرب و تقسیم کنیم تا مخرج کسر گویا شود. در زیر کسرهای \(\frac{5}{{2\sqrt 3 }}\) و \(\frac{2}{{\sqrt[3]{4}}}\) گویا شده اند. جاهای خالی را با عبارت های مناسب پرکنید.
\(\begin{array}{l}\frac{5}{{2\sqrt 3 }} = \frac{5}{{2\sqrt 3 }} \times \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\;....\;}}{{\;....\;}}\\\\\frac{2}{{\sqrt[3]{4}}} = \frac{2}{{\sqrt[3]{4}}} \times \frac{{\;....\;}}{{\sqrt[3]{{{4^2}}}}} = \frac{{\;....\;}}{{\;....\;}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\frac{5}{{2\sqrt 3 }} = \frac{5}{{2\sqrt 3 }} \times \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{6}\\\\\frac{2}{{\sqrt[3]{4}}} = \frac{2}{{\sqrt[3]{4}}} \times \frac{{\sqrt[3]{{{4^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{4^2}}}}} = \frac{{2\sqrt[3]{{{4^2}}}}}{4} = \frac{{\sqrt[3]{{{4^2}}}}}{2} = \frac{{\sqrt[3]{{16}}}}{2}\end{array}\)
2 دو عبارت مانند \(\sqrt a + \sqrt b \) و \(\sqrt a - \sqrt b \) که شامل مجموع و تفاضل دو قسمت یکسان هستند را مزدوج یکدیگر می گوییم. حاصل ضرب این دو عبارت را می توانیم به صورت زیر محاسبه کنیم:
\(\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right) = {\left( {\sqrt a } \right)^2} - {\left( {\sqrt b } \right)^2} = a - b\)
همان طور که مشاهده می شود، سمت راست تساوی بالا فاقد یک عبارت رادیکالی است. از این روش برای گویا کردن مخرج کسرها استفاده می کنیم. به عنوان مثال، برای گویا کردن \(\frac{2}{{\sqrt 3 + 5}}\) به صورت زیر عمل می کنیم.
\(\frac{2}{{\sqrt 3 + 5}} = \frac{2}{{\sqrt 3 + 5}} \times \frac{{\sqrt 3 - 5}}{{\sqrt 3 - 5}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3 - 5} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - {5^2}}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3 - 5} \right)}}{{3 - 25}} = \frac{{5 - \sqrt 3 }}{{11}}\)
مانند نمونه بالا، مخرج کسرهای زیر را گویا کنید.
الف \(\frac{1}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }} = \)
ب \(\frac{8}{{3\sqrt 2 + 4}} = \)
پ \(\frac{{x - y}}{{\sqrt x - \sqrt y }} = \)
ت \(\frac{h}{{\sqrt {x + h} - \sqrt x }} = \)
الف
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }} \times \frac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }} = \\\\\frac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}{{5 - 3}} = \frac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}{2}\end{array}\)
ب
\(\begin{array}{l}\frac{8}{{3\sqrt 2 + 4}} = \frac{8}{{3\sqrt 2 + 4}} \times \frac{{3\sqrt 2 - 4}}{{3\sqrt 2 - 4}} = \\\\\frac{{8\left( {3\sqrt 2 - 4} \right)}}{{{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( 4 \right)}^2}}} = \frac{{24\sqrt 2 - 32}}{{18 - 16}} = \\\\\frac{{24\sqrt 2 - 32}}{2} = 12\sqrt 2 - 16\end{array}\)
پ
\(\begin{array}{l}\frac{{x - y}}{{\sqrt x - \sqrt y }} = \frac{{x - y}}{{\sqrt x - \sqrt y }} \times \frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \\\\\frac{{\left( {x - y} \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt y } \right)}^2}}} = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{x - y}} = \sqrt x + \sqrt y \end{array}\)
ت
\(\begin{array}{l}\frac{h}{{\sqrt {x + h} - \sqrt x }} = \\\\\frac{h}{{\sqrt {x + h} - \sqrt x }} \times \frac{{\sqrt {x + h} + \sqrt x }}{{\sqrt {x + h} + \sqrt x }} = \\\\\frac{{h\left( {\sqrt {x + h} + \sqrt x } \right)}}{{{{\left( {\sqrt {x + h} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}} = \frac{{h\left( {\sqrt {x + h} + \sqrt x } \right)}}{{x + h - x}} = \\\\\frac{{h\left( {\sqrt {x + h} + \sqrt x } \right)}}{h} = \sqrt {x + h} + \sqrt x \end{array}\)
3 از اتحادهای مجموع و تفاضل مکعب ها که به صورت زیر هستند، برای گویا کردن کسرهایی مانند \(\frac{1}{{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}}\) و \(\frac{1}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}\) استفاده می کنیم. در هرکدام از اتحادهای زیر، قرار دهید \(x = \sqrt[3]{a}\) ، \(y = \sqrt[3]{b}\) و آنها را بازنویسی کنید.
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = {x^3} - {y^3}\\\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)\left( {\;...........\;} \right) = \;..........\end{array} \right.\\\\\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = {x^3} + {y^3}\\\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\left( {\;...........\;} \right) = \;..........\end{array} \right.\end{array}\)
آیا سمت راست تساوی های بالا، شامل یک عبارت رادیکالی است؟
برای گویا کردن مخرج کسرهای \(\frac{1}{{\sqrt[3]{2} - 1}}\) و \(\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} - 1}}\) به صورت زیر عمل می کنیم:
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt[3]{2} - 1}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2} - 1}} \times \frac{{\sqrt[3]{{{2^2}}} + \sqrt[3]{2} + 1}}{{\sqrt[3]{{{2^2}}} + \sqrt[3]{2} + 1}} = \frac{{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1}}{{{{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)}^3} - {1^3}}} = \frac{{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1}}{{2 - 1}} = \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1\\\\\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} - 1}} = \frac{{\left( {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{{x^2}}} + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} - 1} \right)\left( {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{{x^2}}} + 1} \right)}} = \frac{{\left( {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{{x^2}}} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)}}\end{array}\)
مانند نمونه بالا، مخرج کسرهای زیر را گویا کنید.
الف \(\frac{2}{{\sqrt[3]{5} + 1}} = \)
ب \(\frac{1}{{\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{3}}} = \)
پ \(\frac{{x + 8}}{{\sqrt[3]{x} + 2}} = \)
ت \(\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + 1}} = \)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = {x^3} - {y^3}\\\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right) = \;\sqrt[3]{{{a^3}}} - \sqrt[3]{{{b^3}}} = a - b\end{array} \right.\\\\\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = {x^3} + {y^3}\\\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right) = \;\sqrt[3]{{{a^3}}} + \sqrt[3]{{{b^3}}} = a + b\end{array} \right.\end{array}\)
خیر، سمت راست تساوی های بالا، شامل یک عبارت رادیکالی نیست.
الف
\(\begin{array}{l}\frac{2}{{\sqrt[3]{5} + 1}} = \\\\\frac{2}{{\sqrt[3]{5} + 1}} \times \frac{{\sqrt[3]{{{5^2}}} - \sqrt[3]{5} + 1}}{{\sqrt[3]{{{5^2}}} - \sqrt[3]{5} + 1}} = \\\\\frac{{2\left( {\sqrt[3]{{{5^2}}} - \sqrt[3]{5} + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt[3]{5}} \right)}^3} + {{\left( 1 \right)}^3}}} = \\\\\frac{{2\left( {\sqrt[3]{{{5^2}}} - \sqrt[3]{5} + 1} \right)}}{{5 + 1}} = \\\\\frac{{\sqrt[3]{{{5^2}}} - \sqrt[3]{5} + 1}}{3}\end{array}\)
ب
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{3}}} = \\\\\frac{1}{{\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{3}}} \times \frac{{\sqrt[3]{{{7^2}}} + \sqrt[3]{{21}} + \sqrt[3]{{{3^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{7^2}}} + \sqrt[3]{{21}} + \sqrt[3]{{{3^2}}}}} = \\\\\frac{{\sqrt[3]{{{7^2}}} + \sqrt[3]{{21}} + \sqrt[3]{{{3^2}}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{7}} \right)}^3} - {{\left( {\sqrt[3]{3}} \right)}^3}}} = \\\\\frac{{\sqrt[3]{{49}} + \sqrt[3]{{21}} + \sqrt[3]{9}}}{{7 - 3}} = \\\\\frac{{\sqrt[3]{{49}} + \sqrt[3]{{21}} + \sqrt[3]{9}}}{4}\end{array}\)
پ
\(\begin{array}{l}\frac{{x + 8}}{{\sqrt[3]{x} + 2}} = \\\\\frac{{x + 8}}{{\sqrt[3]{x} + 2}} \times \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}} - 2\sqrt[3]{x} + 4}}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} - 2\sqrt[3]{x} + 4}} = \\\\\frac{{\left( {x + 8} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} - 2\sqrt[3]{x} + 4} \right)}}{{{{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}^3} + {{\left( 2 \right)}^3}}} = \\\\\frac{{\left( {x + 8} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} - 2\sqrt[3]{x} + 4} \right)}}{{x + 8}} = \\\\\sqrt[3]{{{x^2}}} - 2\sqrt[3]{x} + 4\end{array}\)
ت
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + 1}} = \\\\\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + 1}} \times \frac{{\sqrt[3]{{{x^4}}} - \sqrt[3]{{{x^2}}} + 1}}{{\sqrt[3]{{{x^4}}} - \sqrt[3]{{{x^2}}} + 1}} = \\\\\frac{{\sqrt[3]{{{x^4}}} - \sqrt[3]{{{x^2}}} + 1}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)}^3} + {{\left( 1 \right)}^3}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{x^4}}} - \sqrt[3]{{{x^2}}} + 1}}{{{x^2} + 1}}\end{array}\)
1736019749.png)
