جواب تمرین صفحه 40 درس 2 ریاضی دهم (مثلثات)

الف

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{y < 0}\end{array}} \right. \Rightarrow x = \frac{3}{7} \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 1\\\\ \Rightarrow {\left( {\frac{3}{7}} \right)^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow {y^2} = 1 - \frac{9}{{49}} = \frac{{40}}{{49}}\\\\ \Rightarrow y = - {\mkern 1mu} \frac{{\sqrt {40} }}{7}\\\\\sin {\mkern 1mu} \alpha = - {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{\sqrt {40} }}{7}\\\\\tan {\mkern 1mu} \alpha = - {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{\sqrt {40} }}{3}\\\\\cot \alpha = - {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{3}{{\sqrt {40} }}\end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < 0}\\{y < 0}\end{array}} \right. \Rightarrow y = - {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{1}{2} \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 1\\\\ \Rightarrow {x^2} + {\left( { - {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{1}{2}} \right)^2} = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\\\\ \Rightarrow x = - {\mkern 1mu} \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\\\cos {\mkern 1mu} \beta = - {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\\\tan {\mkern 1mu} \beta = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\\\\cot \beta = \frac{{\sqrt 3 }}{1} = \sqrt 3 \end{array}\)

ممکن است در ربع اول و یا چهارم باشد؛ زیرا در این نواحی sin و tan هم علامت هستند.

الف 

0° < θ < 90°

ب 

270° < θ < 360°

در ربع دوم و یا چهارم؛ زیرا:

\(\sin {\mkern 1mu} \alpha \times \cos \alpha < 0\)

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin {\mkern 1mu} \alpha > 0}\\{\cos \alpha < 0}\end{array}} \right\} \Rightarrow \)  ربع دوم:

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin {\mkern 1mu} \alpha < 0}\\{\cos \alpha > 0}\end{array}} \right\} \Rightarrow \)  ربع چهارم:

\(\begin{array}{l}\alpha = 60^\circ \Rightarrow \tan \:\alpha > \cot \:\alpha \\\\\beta = 30^\circ \Rightarrow \tan \:\beta < \cot \:\beta \end{array}\)

نتیجه می گیریم که اگر زاویه بین 0 تا 45 درجه باشد، cot از tan بیشتر است و اگر زاویه بین 45 تا 90 درجه باشد، tan از cot بیشتر است.

\(\begin{array}{l}\alpha = 60^\circ \Rightarrow \sin \:\alpha > \cos \:\alpha \\\\\beta = 30^\circ \Rightarrow \sin \:\beta < \cos \:\beta \end{array}\)

نتیجه می گیریم که اگر زاویه بین 0 تا 45 درجه باشد، cos از sin بیشتر است و اگر زاویه بین 45 تا 90 درجه باشد، sin از cos بیشتر است.

\(\begin{array}{l}y - {y_0} = m\left( {x - {x_0}} \right)\\\\\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 0}\\{{y_0} = 2}\\{m = \tan {\mkern 1mu} 45^\circ = 1}\end{array}} \right\}\\\\ \Rightarrow y - 2 = 1\left( {x - 0} \right) \Rightarrow y = x + 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l}y - {y_0} = m\left( {x - {x_0}} \right)\\\\\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 0}\\{{y_0} = - 3}\\{m = \tan {\mkern 1mu} \:60^\circ = \sqrt 3 }\end{array}} \right\}\\\\ \Rightarrow y + 3 = \sqrt 3 \left( {x - {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0} \right) \Rightarrow y = \sqrt 3 x - 3\end{array}\)