شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
آقای جلالی، از دانش آموزان پرسید: اگر θ زاویه ای در ربع دوم مثلثاتی باشد و \(\sin \theta = \frac{5}{7}\)، آیا می توان سایر نسبت های مثلثاتی θ را پیدا کرد؟
امین: می دانیم \(\sin \theta = y = \frac{5}{7}\)، بنابراین P نقطه ای به عرض ……… است.
معلم: درست است و حالا طول نقطه P چگونه به دست می آید؟
امیرعلی: طبق رابطهٔ فیثاغورس، در مثلث قائم الزاویه داریم: x2+y2=1، بنابراین ……… و در نتیجه \({x^2} = \frac{{24}}{{49}}\) پس داریم x= …….. .
معلم: آفرین، این راه کاملاً درست است، ولی کدام مقدار قابل قبول است؟
محمد مهدی: چون θ زاویه ای در ربع ……… است، پس طول نقطهٔ P منفی است و از این رو x=…….. قابل قبول است.
معلم: استدلال محمدمهدی کاملاً منطقی است و P نقطه ای به مختصات (....... و .......) است. در نتیجه:
\(\begin{array}{l}\cot \theta = \frac{{{\mkern 1mu} ...{\mkern 1mu} }}{{{\mkern 1mu} ...{\mkern 1mu} }} = \frac{{{\mkern 1mu} .....{\mkern 1mu} }}{{{\mkern 1mu} .....{\mkern 1mu} }}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \\\\\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{{{\mkern 1mu} .....{\mkern 1mu} }}{{{\mkern 1mu} .....{\mkern 1mu} }}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \\\\\cos \theta = x = .......\end{array}\)
امین: می دانیم \(\sin \theta = y = \frac{5}{7}\)، بنابراین P نقطه ای به عرض …\(\frac{5}{7}\)… است.
معلم: درست است و حالا طول نقطه P چگونه به دست می آید؟
امیرعلی: طبق رابطهٔ فیثاغورس، در مثلث قائم الزاویه داریم: x2+y2=1، بنابراین …\({x^2} + \frac{{25}}{{49}} = 1\)… و در نتیجه \({x^2} = \frac{{24}}{{49}}\) پس داریم x= …\( \pm \frac{{\sqrt {24} }}{7}\).. .
معلم: آفرین، این راه کاملاً درست است، ولی کدام مقدار قابل قبول است؟
محمد مهدی: چون θ زاویه ای در ربع …دوم… است، پس طول نقطهٔ P منفی است و از این رو x=…\( - \frac{{\sqrt {24} }}{7}\).. قابل قبول است.
معلم: استدلال محمدمهدی کاملاً منطقی است و P نقطه ای به مختصات \(( - \frac{{\sqrt {24} }}{7}\;,\;\frac{5}{7})\) است. در نتیجه:
\(\begin{array}{l}\cot \theta = \frac{x}{y} = \frac{{ - \sqrt {24} }}{5}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \\\\\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{5}{{\sqrt {24} }}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \\\\\cos \theta = x = - \frac{{\sqrt {24} }}{7}\end{array}\)
1736019749.png)
