جواب تمرین صفحه 71 درس 3 ریاضیات گسسته (ترکیبیّات (شمارش))

مسئله را به این صورت بیان می کنیم که:

مطابق شکل دور یک میز 4 جفت صندلی روبروی هم داریم که می خواهیم 4 جفت برادر را روی آن ها بنشانیم. طبق اصل شمارش، این عمل به 4! حالت امکان پذیر است. از طرفی برای هر جفت صندلی که دو برادر می خواهند روی آن بنشینند، 2 حالت داریم (کدام برادر روی صندلی آبی و کدام برادر روی صندلی سبز بنشیند) و با وجود 2 صندلی طبق اصل شمارش باید 4! در 2⁴ ضرب شود. بنابراین جواب مسئله \(4! \times {2^4}\) است.

تعداد حالات انتخاب 2 رقم از 4 رقم مجموعه ی A برابر است با: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\2\end{array}} \right) = 6\)

تعداد حالات انتخاب 3 رقم از 5 رقم مجموعه ی B برابر است با : \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\3\end{array}} \right) = 10\)

از طرفی تعداد حالات چینش 5 رقم به صورت یک کد 5 رقمی برابر 5! می باشد، لذا طبق اصل ضرب جواب مسئله \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\2\end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\3\end{array}} \right) \times 5! = 7200\) است.

الف

چیدن 9 کتاب بدون هیچ محدودیت به 9! طریق امکان پذیر است.

ب

4 کتاب فیزیک را به عنوان یک پک کتاب که به همراه 5 کتاب ریاضی ، 6 شیء محسوب می شود و تعداد جایگشت آن ها 6! خواهد بود. از طرفی 4 کتاب فیزیک به تعداد 4! طریق با هم امکان جابجایی دارند، لذا طبق اصل ضرب، جواب مسئله \(6! \times 4!\) است.

پ

باید کتاب ها بنا به موضوع یکی در میان چیده شوند: RFRFRFRFR

لذا برای ریاضی ها 5! و برای فیزیک ها 4! حالت داریم و طبق اصل ضرب در کل \(5! \times 4!\) روش امکان پذیر است.

ت

کتاب های خاص را به عنوان یک پَک 3 تایی که به 3! طریق کنار هم قرار می گیرند، در نظر می گیریم. از طرفی یک پک به همراه 6 کتاب باقی مانده به 7! طریق می توان کنار هم چید.

در نتیجه بنا به اصل ضرب به \(3! \times 7!\) روش امکان پذیر است.

4 دانش آموز پایه دوازدهم و 6 دانش آموز پایه یازدهم به چند طریق می توانند در یک صف کنار هم قرار بگیرند، به طوری که همواره دانش آموزان پایه دوازدهم پهلوی هم باشند؟

\(\frac{{6!}}{{2! \times 3!}}\)

\(\frac{{9!}}{{3! \times 3! \times 2!}}\)

\(\frac{{7!}}{{3! \times 2! \times 2!}}\)

الف

\({x_i}\) را به عنوان گُل نوع \(i\)اُم معرفی می کنیم، در نتیجه جواب مسئله همان تعداد جواب های صحیح نامنفی معادله \({x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5} = 11\) است. بنابراین پاسخ آن \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{11 + 5 - 1}\\{5 - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{15}\\4\end{array}} \right)\) است.

ب

تعداد جواب های صحیح مثبت معادله قسمت قبل، جواب مسئله می باشد: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{11 - 1}\\{5 - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{10}\\4\end{array}} \right)\)

پ

یعنی در معادله \({x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5} = 11\) شرایط \({x_2} \ge 2\) و \({x_5} > 3\) به همراه صحیح و نامنفی بودن دیگر متغیرهای آن برقرار است:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}{x_2} \ge 2 \Rightarrow \underbrace {{x_2} - 2}_{{y_2}} \ge 0\\{x_5} > 3 \Rightarrow {x_5} \ge 4\end{array} \right\} \Rightarrow \\\\\left. \begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{x_2} = {y_2} + 2\\\underbrace {{x_5} - 4}_{{y_5}} \ge 0 \Rightarrow {x_5} = {y_5} + 4\end{array} \right\} \Rightarrow \\\\{x_1} + {y_2} + 2 + {x_3} + {x_4} + {y_5} + 4 = 11\\\\ \Rightarrow {x_1} + {y_2} + {x_3} + {x_4} + {y_5} = 5\\\\ \Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{5 + 5 - 1}\\{5 - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}9\\4\end{array}} \right)\end{array}\)

ت

یعنی در معادله \({x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5} = 11\) شرایط \({x_3} = 0\) و \({x_4} \ge 5\) به همراه صحیح و نامنفی بودن دیگر متغیرهای آن برقرار است:

\(\begin{array}{l}{x_4} \ge 5 \Rightarrow \underbrace {{x_4} - 5}_{{y_4}} \ge 0 \Rightarrow {x_4} = {y_4} + 5\;\\\\\;\mathop \Rightarrow \limits^{{x_3} = 0} \;\;{x_1} + {x_2} + 0 + {y_4} + 5 + {x_5} = 11\\\\ \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {y_4} + {x_5} = 6\\\\ \Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{6 + 4 - 1}\\{4 - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}9\\3\end{array}} \right)\end{array}\)

الف

\(\begin{array}{l}\mathop \Rightarrow \limits^{2 \le i \le 5} \;\;{x_i} > 0 \Rightarrow {x_i} \ge 1\\\\ \Rightarrow \underbrace {{x_i} - 1}_{{y_i}} \ge 0 \Rightarrow {x_i} = {y_i} + 1\\\\ \Rightarrow {x_1} + {y_2} + 1 + {y_3} + 1 + {y_4} + 1 + {y_5} + 1 = 10\\\\ \Rightarrow {x_1} + {y_2} + {y_3} + {y_4} + {y_5} = 6\\\\ \Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{6 + 5 - 1}\\{5 - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{10}\\4\end{array}} \right)\end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}{x_1} > 2 \Rightarrow {x_1} \ge 3 \Rightarrow \underbrace {{x_1} - 3}_{{y_1}} \ge 0 \Rightarrow {x_1} = {y_1} + 3\\{x_5} \ge 4 \Rightarrow \underbrace {{x_5} - 4}_{{y_5}} \ge 0 \Rightarrow {x_5} = {y_5} + 4\end{array} \right\}\\\\ \Rightarrow {y_1} + 3 + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {y_5} + 4 + {x_6} = 12\\\\ \Rightarrow {y_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {y_5} + {x_6} = 5\\\\ \Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{5 + 6 - 1}\\{6 - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{10}\\5\end{array}} \right)\end{array}\)

پ

طبق شرط مسئله، باید تعداد جواب های صحیح و مثبت (طبیعی) را حساب کنیم که برابر است با:

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{11 - 1}\\{5 - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{10}\\4\end{array}} \right)\)

ت

بدیهی است که با توجه به ضریب x₂ ، برای آن 3 حالت می توان در نظر گرفت:

 \({x_2} = 0 \Rightarrow {x_1} + {x_3} + {x_4} = 7 \Rightarrow \) :حالت اول

 \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{7 + 3 - 1}\\{3 - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}9\\2\end{array}} \right) = 36\) :تعداد جواب های صحیح نامنفی

 \({x_2} = 1 \Rightarrow {x_1} + {x_3} + {x_4} = 4 \Rightarrow \) :حالت دوم

 \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{4 + 3 - 1}\\{3 - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}6\\2\end{array}} \right) = 15\) :تعداد جواب های صحیح نامنفی

 \({x_2} = 2 \Rightarrow {x_1} + {x_3} + {x_4} = 1 \Rightarrow \) :حالت سوم

 \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + 3 - 1}\\{3 - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3\\2\end{array}} \right) = 3\) :تعداد جواب های صحیح نامنفی

 \(36 + 15 + 3 = 54\) :مجموع حالت ها

ث

با توجه به شرایط معادله، چهار حالت برای x₂ وجود دارد:

  \({x_2} = 0 \Rightarrow {x_1} + {x_3} + {x_4} = 3 \Rightarrow \) :حالت اول

  \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{3 + 3 - 1}\\{3 - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\2\end{array}} \right) = 10\) :تعداد جواب های صحیح نامنفی

\({x_2} = 1 \Rightarrow {x_1} + {x_3} + {x_4} = 2 \Rightarrow \) :حالت دوم

  \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2 + 3 - 1}\\{3 - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\2\end{array}} \right) = 6\) :تعداد جواب های صحیح نامنفی

\({x_2} = 4 \Rightarrow {x_1} + {x_3} + {x_4} = 1 \Rightarrow \) :حالت سوم

  \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + 3 - 1}\\{3 - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3\\2\end{array}} \right) = 3\) :تعداد جواب های صحیح نامنفی

\({x_2} = 9 \Rightarrow {x_1} + {x_3} + {x_4} = 0 \Rightarrow \) :حالت چهارم

  \( = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{0 + 3 - 1}\\{3 - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2\\2\end{array}} \right) = 1\) :تعداد جواب های صحیح نامنفی

 \(10 + 6 + 3 + 1 = 20\) :مجموع حالت ها

 \( = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{5 + 3 - 1}\\{3 - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}7\\2\end{array}} \right) = 21\) تعداد جواب های صحیح نامنفی \({x_1} + {x_2} + {x_3} = 5\mathop \to \limits^{{x_i} \ge \;0} \)

به 21 طریق می توان 5 توپ یکسان را بین 3 نفر توزیع کرد.

\({x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 8\mathop \to \limits^{{x_i} \ge \;1} \)

  \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{8 - 1}\\{4 - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}7\\3\end{array}} \right) = 35\) :تعداد جواب های صحیح و مثبت (طبیعی)

به 35 طریق می توان 8 توپ یکسان را بین 4 نفر چنان توزیع کرد که به هر نفر حداقل یک توپ تعلق گیرد.

خیر، امکان ندارد متعامد باشند؛ زیرا اگر مثلا در جایگشت، \(1 \to a\) باشد، آن گاه در مقابل تمام 1 های مربع اول، عدد \(a\) در مربع دوم ظاهر می شود که در مربع تلفیق زوجِ \(1a\) تکراری خواهد بود. برای درک بهتر به مربع روبرو همراه با جایگشت آن دقت کنید:

الف

متعامد هستند.

ب

همانطور که مشاهده می کنیم متعامد نیستند.

پ

1

خیر؛ به طور قطع نمی توان گفت، ممکن است متعامد باشند یا نباشند.

2

خیر؛ در بعضی مواقع ممکن است.

یک مربع لاتین \(6 \times 6\) که هر سطر آن یکی از جلسات و هر ستون آن یکی از کلاس ها را مشخص می کند. به عنوان نمونه معلم T₁ جلسه اول را در کلاس C₁ است.

کافی است دو مربع لاتین 7×7 بنویسیم به طوری که سطرهای آن ها، روزهای هفته و ستون های آن ها، راننده ها نام گذاری شوند. برای سهولت در نوشتن، راننده ها را \(a\;,\;b\;,\;c\;,\;d\;,\;e\;,\;f\;,\;g\) نام گذاری می کنیم.

اگر آن دو مربع را A و B  بنامیم، اعداد درون مربع های A شماره ماشین و اعداد درون مربع های B شماره مسیر را مشخص می کنند. لذا مربع حاصل از کنار هم قرر دادن درایه های آن ها، جواب مسئله است.

برای این منظور از مربع های بدست آمده در سوال 15 استفاده می کنیم: