جواب فعالیت صفحه 74 درس 3 ریاضیات گسسته (ترکیبیّات (شمارش))

چند عدد طبیعی مانند n به طوریکه 1 ≤ n ≤ 400 وجود دارد که بر هیچ یک از اعداد 3، 4 و 5 بخش پذیر نباشند؟ (بر 3 بخش پذیر نباشند، بر 4 بخش پذیر نبوده و بر 5 نیز بخش پذیر نباشند.)

1 در بین اعداد 12، 25، 10 و 13 کدام یک موردنظر می باشند؟

٢ آیا عدد 60 جزء اعداد موردنظر است؟ 

3 اگر مجموعه اعدادی را که بر 3 بخش پذیرند A و اعداد بخش پذیر بر 4 را B و اعداد بخش پذیر بر 5 را C بنامیم، \(\overline C \;,\;\overline B \;,\;\overline A \) را تعریف کنید. آیا مجموعه \(\left( {\overline A \cap \overline B \cap \overline C } \right)\) همه اعداد موردنظر را شامل می شود؟ 

 4 آیا تساوی \(\left( {\overline A \cap \overline B \cap \overline C } \right) = \left( {\overline {A \cup B \cup C} } \right)\) برقرار است؟

 ٥ با توجه به تساوی اخیر و اصل شمول و نتیجه اصل شمول جاهای خالی را پر کرده و تعداد اعداد خواسته شده را محاسبه کنید. (منظور از [ ] جزء صحیح است.)

\(A = \left\{ {1 \le n \le 400\;|\;3|n} \right\}\; \to \;\left| A \right| = \left[ {\frac{{400}}{3}} \right] = ...\)

(از هر سه عدد متوالی یکی بر 3 بخش پذیر است، پس تعداد اعداد طبیعی از 1 تا k که بر سه بخش پذیرند برابر است با \(\left[ {\frac{k}{3}} \right]\))

\(\begin{array}{l}B = \left\{ {1 \le n \le 400\;|\;...|n} \right\}\; \to \;\left| B \right| = \left[ {\frac{{...}}{{\;...\;}}} \right] = ...\\\\C = \left\{ {1 \le n \le 400\;|\;...|n} \right\}\; \to \;\left| C \right| = \left[ {\frac{{...}}{{\;...\;}}} \right] = ...\end{array}\)

\(\left( {A \cap B} \right)\) یعنی مجموعه اعدادی که هم بر 3 و هم بر 4 بخش پذیرند و با توجه به قضیه ای در نظریه اعداد، «مجموعه اعدادی که بر a و بر b بخش پذیر باشد با مجموعه اعدادی که بر «ک م م» آن دو عدد یعنی بر [a,b] بخش پذیرند، برابر می باشد.» (این قضیه برای سه عدد یا بیشتر نیز برقرار است)

\(\begin{array}{l}\left| {A \cap B} \right| = \left[ {\frac{{400}}{{\left[ {3,4} \right]}}} \right] = \left[ {\frac{{400}}{{12}}} \right] = ...\\\\\left| {A \cap C} \right| = \left[ {\frac{{400}}{{...}}} \right] = \left[ {\frac{{400}}{{15}}} \right] = ...\\\\\left| {B \cap C} \right| = \left[ {\frac{{...}}{{\;...\;}}} \right] = \left[ {\frac{{\;...\;}}{{20}}} \right] = ...\\\\\left| {A \cap B \cap C} \right| = \left[ {\frac{{400}}{{60}}} \right] = ...\left( {\left[ {3,4,5} \right] = \left[ {\left[ {3,4} \right],5} \right] = \left[ {12,5} \right] = 60} \right)\\\\\left| {\overline A \cap \overline B \cap \overline C } \right| = \left| {\overline {A \cup B \cup C} } \right| = \left| S \right| - \left| {A \cup B \cup C} \right|\\\\ = 400 - \left( {\left| A \right| + \left| B \right| + \left| C \right| - \left| {A \cap B} \right| - \left| {A \cap C} \right| - \left| {B \cap C} \right| + \left| {A \cap B \cap C} \right|} \right)\\\\ = 400 - \left( {133 + \;...\; + \;...\; - 33 - \;...\; - 20 + 6} \right) = \;...\end{array}\)