شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
چند عدد طبیعی مانند n به طوریکه 1 ≤ n ≤ 400 وجود دارد که بر هیچ یک از اعداد 3، 4 و 5 بخش پذیر نباشند؟ (بر 3 بخش پذیر نباشند، بر 4 بخش پذیر نبوده و بر 5 نیز بخش پذیر نباشند.)
1 در بین اعداد 12، 25، 10 و 13 کدام یک موردنظر می باشند؟
13؛ زیرا بر هیچکدام از اعداد 3، 4 و 5 بخش پذیر نیست.
٢ آیا عدد 60 جزء اعداد موردنظر است؟
خیر؛ زیرا بر هر سه عدد 3، 4 و 5 بخش پذیر است.
3 اگر مجموعه اعدادی را که بر 3 بخش پذیرند A و اعداد بخش پذیر بر 4 را B و اعداد بخش پذیر بر 5 را C بنامیم، \(\overline C \;,\;\overline B \;,\;\overline A \) را تعریف کنید. آیا مجموعه \(\left( {\overline A \cap \overline B \cap \overline C } \right)\) همه اعداد موردنظر را شامل می شود؟
\(\overline A \;:\)مجموعه اعدادی که بر 3 بخش پذیر نیستند
مجموعه اعدادی که بر 4 بخش پذیر نیستند \(\overline B \;:\)
مجموعه اعدادی که بر 5 بخش پذیر نیستند \(\overline C \;:\)
بله؛ شامل می شود.
4 آیا تساوی \(\left( {\overline A \cap \overline B \cap \overline C } \right) = \left( {\overline {A \cup B \cup C} } \right)\) برقرار است؟
بله؛ زیرا:
\(\begin{array}{l}\overline {A \cup B \cup C} = \overline {(A \cup B) \cup C} \;\mathop = \limits^{Demorgan's\;Low} \;\overline {(A \cup B)} \cap \overline C \\\;\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}&{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}&{}\end{array}\quad \mathop = \limits^{Demorgan's\;Low} \;(\overline A \cap \overline B ) \cap \overline C = \overline A \cap \overline B \cap \overline C \end{array}\)
٥ با توجه به تساوی اخیر و اصل شمول و نتیجه اصل شمول جاهای خالی را پر کرده و تعداد اعداد خواسته شده را محاسبه کنید. (منظور از [ ] جزء صحیح است.)
\(A = \left\{ {1 \le n \le 400\;|\;3|n} \right\}\; \to \;\left| A \right| = \left[ {\frac{{400}}{3}} \right] = ...\)
(از هر سه عدد متوالی یکی بر 3 بخش پذیر است، پس تعداد اعداد طبیعی از 1 تا k که بر سه بخش پذیرند برابر است با \(\left[ {\frac{k}{3}} \right]\))
\(\begin{array}{l}B = \left\{ {1 \le n \le 400\;|\;...|n} \right\}\; \to \;\left| B \right| = \left[ {\frac{{...}}{{\;...\;}}} \right] = ...\\\\C = \left\{ {1 \le n \le 400\;|\;...|n} \right\}\; \to \;\left| C \right| = \left[ {\frac{{...}}{{\;...\;}}} \right] = ...\end{array}\)
\(\left( {A \cap B} \right)\) یعنی مجموعه اعدادی که هم بر 3 و هم بر 4 بخش پذیرند و با توجه به قضیه ای در نظریه اعداد، «مجموعه اعدادی که بر a و بر b بخش پذیر باشد با مجموعه اعدادی که بر «ک م م» آن دو عدد یعنی بر [a,b] بخش پذیرند، برابر می باشد.» (این قضیه برای سه عدد یا بیشتر نیز برقرار است)
\(\begin{array}{l}\left| {A \cap B} \right| = \left[ {\frac{{400}}{{\left[ {3,4} \right]}}} \right] = \left[ {\frac{{400}}{{12}}} \right] = ...\\\\\left| {A \cap C} \right| = \left[ {\frac{{400}}{{...}}} \right] = \left[ {\frac{{400}}{{15}}} \right] = ...\\\\\left| {B \cap C} \right| = \left[ {\frac{{...}}{{\;...\;}}} \right] = \left[ {\frac{{\;...\;}}{{20}}} \right] = ...\\\\\left| {A \cap B \cap C} \right| = \left[ {\frac{{400}}{{60}}} \right] = ...\left( {\left[ {3,4,5} \right] = \left[ {\left[ {3,4} \right],5} \right] = \left[ {12,5} \right] = 60} \right)\\\\\left| {\overline A \cap \overline B \cap \overline C } \right| = \left| {\overline {A \cup B \cup C} } \right| = \left| S \right| - \left| {A \cup B \cup C} \right|\\\\ = 400 - \left( {\left| A \right| + \left| B \right| + \left| C \right| - \left| {A \cap B} \right| - \left| {A \cap C} \right| - \left| {B \cap C} \right| + \left| {A \cap B \cap C} \right|} \right)\\\\ = 400 - \left( {133 + \;...\; + \;...\; - 33 - \;...\; - 20 + 6} \right) = \;...\end{array}\)
\(A = \left\{ {1 \le n \le 400\;|\;3|n} \right\}\; \to \;\left| A \right| = \left[ {\frac{{400}}{3}} \right] = 133\)
\(\begin{array}{l}B = \left\{ {1 \le n \le 400\;|\;...|n} \right\}\; \to \;\left| B \right| = \left[ {\frac{{400}}{4}} \right] = 100\\\\C = \left\{ {1 \le n \le 400\;|\;...|n} \right\}\; \to \;\left| C \right| = \left[ {\frac{{400}}{5}} \right] = 80\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\left| {A \cap B} \right| = \left[ {\frac{{400}}{{\left[ {3,4} \right]}}} \right] = \left[ {\frac{{400}}{{12}}} \right] = 33\\\\\left| {A \cap C} \right| = \left[ {\frac{{400}}{{\left[ {3,5} \right]}}} \right] = \left[ {\frac{{400}}{{15}}} \right] = 26\\\\\left| {B \cap C} \right| = \left[ {\frac{{400}}{{\left[ {4,5} \right]}}} \right] = \left[ {\frac{{400}}{{20}}} \right] = 20\\\\\left| {A \cap B \cap C} \right| = \left[ {\frac{{400}}{{60}}} \right] = 6\left( {\left[ {3,4,5} \right] = \left[ {\left[ {3,4} \right],5} \right] = \left[ {12,5} \right] = 60} \right)\\\\\left| {\overline A \cap \overline B \cap \overline C } \right| = \left| {\overline {A \cup B \cup C} } \right| = \left| S \right| - \left| {A \cup B \cup C} \right|\\\\ = 400 - \left( {\left| A \right| + \left| B \right| + \left| C \right| - \left| {A \cap B} \right| - \left| {A \cap C} \right| - \left| {B \cap C} \right| + \left| {A \cap B \cap C} \right|} \right)\\\\ = 400 - \left( {133 + \;100\; + 80\; - 33 - \;26\; - 20 + 6} \right) = 160\end{array}\)
1736019749.png)
