شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
1 یک گراف دلخواه مانند G با n رأس\({v_n}\;,\;...\;,\;{v_2}\;,\;{v_1}\) و m یال\({c_m}\;,\;...\;,\;{c_2}\;,\;{c_1}\) در نظر بگیرید.
2 تمام یال های گراف G را حذف کنید.
3 مجموع درجات تمام رئوس گراف حاصل چند است؟ تعداد یال های گراف حاصل چند است و این دو عدد چه ارتباطی با هم دارند؟
صفر؛ صفر؛ ظاهراً با هم برابرند.
4 یال e1 را در جای خود (بین همان دو رأسی که e1 قبل از حذف شدن بین آنها قرار داشت) قرار دهید و به سؤال 3 جواب دهید.
مجموع درجات برابر 2 و تعداد یال ها 1 می باشد.
5 تمام یال های\({e_m}\;,\;...\;,\;{e_2}\;,\;{e_1}\) را یکی یکی در جای خود قرار دهید تا به گراف اولیه G برسید و پس از اضافه کردن هر یال مجددا برای گراف جدید ساخته شده به سؤال 3 جواب دهید.
مجموع درجات برابر 4 و تعداد یال ها 2 می باشد.
مجموع درجات برابر 6 و تعداد یال ها 3 می باشد.
\( \vdots \)
مجموع درجات برابر 2m و تعداد یال ها m می باشد.
6 آیا مجموع درجات رئوس یک گراف می تواند عددی فرد باشد؟ چرا؟
خیر؛ زیرا با اضافه کردن هر یال، 2 واحد به مجموع درجات افزوده می شود و با توجه به این که مجموع درجات در ابتدا صفر بوده، غیر ممکن است که عددی فرد شود.
7 برای تساوی\(\sum\limits_{i = 1}^n {\deg \left( {{v_i}} \right)} = \deg \left( {{v_1}} \right) + \deg \left( {{v_2}} \right) + ... + \deg \left( {{v_n}} \right) = 2m\) استدلال خود را بیان نمایید. با توجه به آنچه در این فعالیت به دست آوردیم، می توان قضیه زیر را بیان نمود.
در شمارش درجه ها، هر یال دارای 2 رأس است؛ بنابراین در مجموع آنها، هر یال 2 بار حساب شده است؛ پس مجموع درجات 2 برابر تعداد یال هاست.
1736019749.png)
