شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
1 معادله \({x_1} + {x_2} + {x_3} = 7\) چند جواب صحیح و مثبت دارد؟
(راهنمایی: مثال را ملاحظه کنید، از هر نوع گل حداقل 1 شاخه انتخاب شود).
ابتدا از هر شاخه یک گل برمی داریم:
\(\begin{array}{l}\underbrace {({x_1} - 1)}_{{y_1}} + \underbrace {({x_2} - 1)}_{{y_2}} + \underbrace {({x_3} - 1)}_{{y_3}} = 7 - 1 - 1 - 1\\\\ \Rightarrow {y_1} + {y_2} + {y_3} = 4\end{array}\)
تعداد جواب های صحیح و نا منفی معادله جدید (همان تعداد انتخاب های دلخواه 4 شاخه گل از بین سه نوع گل) پاسخ سوال می باشد، که برابر است با:
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{4 + 3 - 1}\\{3 - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}6\\2\end{array}} \right) = 15\)
2 نشان دهید تعداد جواب های صحیح و مثبت معادلۀ \({x_1} + {x_2} + ... + {x_k} = n\) برابر است با \(\left( \begin{array}{l}n - 1\\k - 1\end{array} \right)\).
(راهنمایی: ابتدا از هر نوع گل 1 شاخه برداشته و لذا تعداد انتخاب های دلخواه به \((n – k)\) تقلیل می یابد و ...)
دقیقاً مشابه سوال قبل عمل می کنیم:
\(\begin{array}{l}\underbrace {({x_1} - 1)}_{{y_1}} + \underbrace {({x_2} - 1)}_{{y_2}} + \cdots + \underbrace {({x_k} - 1)}_{{y_k}} = n\underbrace { - 1 - 1 - \cdots - 1}_{ - k}\\\\ \Rightarrow {y_1} + {y_2} + \cdots + {y_k} = n - k\end{array}\)
تعداد جواب های صحیح و نامنفی معادله جدید = تعداد جواب های صحیح و مثبت معادله مورد سوال \( \Rightarrow \)
\( = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{(n - k) + k - 1}\\{k - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{n - 1}\\{k - 1}\end{array}} \right)\)
3 معادلۀ \({x_1} + {x_2} + ... + {x_5} = 14\) چند جواب صحیح و نامنفی دارد به شرط آنکه x1>1 و x3>3 باشد؟
\(\left. \begin{array}{l}{x_1} > 1 \Rightarrow {x_1} \ge 2 \Rightarrow \underbrace {{x_1} - 2}_{{y_1}} \ge 0 \Rightarrow {x_1} = {y_1} + 2\\{x_3} > 3 \Rightarrow {x_3} \ge 4 \Rightarrow \underbrace {{x_3} - 4}_{{y_3}} \ge 0 \Rightarrow {x_1} = {y_3} + 4\end{array} \right\} \Rightarrow \)
معادله جدید:
\(\begin{array}{l}:{y_1} + 2 + {x_2} + {y_3} + 4 + {x_4} + {x_5} = 14\\\\ \Rightarrow {y_1} + {x_2} + {y_3} + {x_4} + {x_5} = 8\end{array}\)
تعداد جواب های صحیح و نامنفی معادله اخیر، پاسخ مقابل می باشد:
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{8 + 5 - 1}\\{5 - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{12}\\4\end{array}} \right) = 495\)
4 معادلۀ \({x_1} + {x_2} + ... + {x_5} = 11\) چند جواب صحیح و مثبت دارد؟ \(\left( {x1 \ge 1\;\;,\;\;1 \le i \le 5} \right)\)
از شرط قرار داده شده (\({x_i} \ge 1\)) نتیجه می شود؛ پاسخ مسئله همان تعداد جواب های صحیح و مثبت (طبیعی) معادله می باشد که طبق جواب سوال 2 برابر است با:
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{11 - 1}\\{5 - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{10}\\4\end{array}} \right) = 210\)
5 معادلۀ \({x_1} + {x_2} + ... + {x_6} = 12\) چند جواب صحیح و مثبت دارد به شرط آنکه x3=4 و x5>2 باشد؟
\(\left. \begin{array}{l}{x_5} > 2 \Rightarrow {x_5} \ge 2 \Rightarrow \underbrace {{x_5} - 2}_{{y_5}} \ge 0 \Rightarrow {x_5} = {y_5} + 2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{x_3} = 4\end{array} \right\} \Rightarrow \)
معادله جدید:
\(\begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + 4 + {x_4} + {y_5} + 2 + {x_6} = 12\\\\ \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_4} + {y_5} + {x_6} = 6\end{array}\)
حال با توجه به رابطه بدست آمده در سوال 2، تعداد جواب ها برابر است با:
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{6 - 1}\\{5 - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\4\end{array}} \right) = 5\)
1736019749.png)
