جواب فعالیت صفحه 77 درس 3 ریاضیات گسسته (ترکیبیّات (شمارش))

اگر f تابعی از مجموعه A به مجموعه B باشد و |A|=m و |B|=n در این صورت برای هر \({a_i} \in A\) که \(1≤i≤m \) می توان به n طریق (f(a_i را تعریف کرد (f(a_i) =b₁ یا f(a_i) =b₂ یا ... یا f(a_i) =b_n) و لذا طبق اصل ضرب تعداد کل توابع از A به B برابر است با: \({\left| B \right|^{\left| A \right|}} = {n^m}\) حال اگر |A|=5 و |B|=3 در این صورت می خواهیم تعداد توابعی چون f از A به B را تعیین کنیم به طوری که R_f=B (روی تمام اعضای B پیکانی رسم شده باشد، به چنین تابع هایی، تابع پوشا گفته می شود).

1- اگر فرض کنیم {B={b₁ , b₂ , b₃ و {A={a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , a₅ تعریف کنیم،

\(\begin{array}{l}{A_1} = \left\{ {f:A \to B|f\left( {{a_i}} \right) \ne {b_1}\;;\;1 \le i \le 5} \right\}\\\\{A_2} = \left\{ {f:A \to B|f\left( {{a_i}} \right) \ne {b_1}\;;\;1 \le i \le 5} \right\}\\\\{A_3} = \left\{ {f:A \to B|f\left( {{a_i}} \right) \ne {b_1}\;;\;1 \le i \le 5} \right\}\end{array}\)

در این صورت A₁ مجموعه ای شامل همه تابع هایی از A به B است که حداقل یک پیکان از اعضای A روی b₁ می آورند.

٢ مجموعه \(\left( {\overline {{A_1}} \cap \overline {{A_2}} \cap \overline {{A_3}} } \right) = \left( {\overline {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} } \right)\) را تعریف کنید و با استفاده از نتیجه اصل شمول، پاسخ را بیابید. 

\(\begin{array}{l}\left| S \right| = {3^{\;...}} = \;...\;,\;\left| {{A_1}} \right| = \left| {{A_2}} \right| = \left| {{A_3}} \right| = {2^{\;...}} = \;...\\\\\left| {{A_1} \cap {A_2}} \right| = \left| {{A_1} \cap {A_3}} \right| = \left| {{A_2} \cap {A_3}} \right| = ...\;,\;\left| {{A_1} \cap {A_2} \cap {A_3}} \right| = 0\\\\\left( {\overline {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} } \right) = \left| S \right| - \left| {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right|\\\\ = 243 - \left( {\;...\; + \;...\; + \;...\; - \;...\; - \;...\; - \;...\; + \;...} \right) = \;...\end{array}\)