جواب تمرین های ترکیبی صفحه 50 درس 3 ریاضی هشتم (چندضلعی ها)

1 چندضلعی محدّب

چندضلعی‌ای است که هیچ‌کدام از زاویه‌های آن بیشتر از ۱۸۰ درجه نباشد (یعنی فرورفتگی یا «غار» نداشته باشد).

2 چندضلعی مقعّر

برعکس محدب، حداقل یک زاویه بزرگ‌تر از ۱۸۰ درجه دارد (انگار یک قسمت آن به داخل فرو رفته است).

3 مرکز تقارن

نقطه‌ای است که اگر شکل را حول آن ۱۸۰ درجه بچرخانیم، شکل دقیقاً روی خودش می‌افتد.

4 چندضلعی منتظم

یک شکل ایده‌آل است! هم تمام ضلع‌هایش با هم مساوی‌اند و هم تمام زاویه‌هایش.

5 زاویهٔ داخلی

زاویه داخلی، زاویه درون شکل است.

6 زاویهٔ خارجی

زاویه خارجی، زاویه‌ای است که از امتداد دادن یک ضلع با ضلع دیگر در بیرون شکل ساخته می‌شود.

1 بررسی مرکز تقارن یک شکل

اگر شکلی را حول یک نقطه (مرکز دوران) به اندازه ۱۸۰ درجه بچرخانیم و نتیجهٔ دوران دقیقاً روی خود شکل منطبق شود، می‌گوییم آن شکل مرکز تقارن دارد.

مثال:

متوازی‌الاضلاع دارای مرکز تقارن است، زیرا با چرخش ۱۸۰ درجه حول محل برخورد قطرها، روی خودش می‌افتد. اما مثلث متساوی‌الاضلاع مرکز تقارن ندارد.

2 پیدا کردن زاویه های مساوی و مکمل در خط های موازی و مورب

وقتی یک خط مورب دو خط موازی را قطع می‌کند، زاویه‌های تند (حاده) با هم برابرند و زاویه‌های باز (منفرجه) نیز با هم برابرند. همچنین یک زاویه تند و یک زاویه باز مکمل یکدیگرند (مجموعشان ۱۸۰ درجه است).

مثال:

اگر خط مورب با یکی از خطوط موازی زاویه ۶۰ درجه بسازد، تمام زاویه‌های تند ایجاد شده ۶۰ درجه و تمام زاویه‌های باز ۱20 درجه خواهند بود (60 = 120 - 180).

3 تعریف متوازی الاضلاع

چهارضلعی‌ای است که ضلع‌های روبه‌روی آن دو به دو با هم موازی باشند.

4 تعریف مستطیل

مستطیل، متوازی‌الاضلاعی است که زاویه‌های قائمه (۹۰ درجه) دارد.

5 تعریف لوزی

لوزی، متوازی‌الاضلاعی است که چهار ضلع آن با هم برابرند.

6 تعریف مربع

مربع، متوازی‌الاضلاعی است که هم چهار ضلع مساوی دارد و هم زاویه‌های قائمه دارد.

7 رابطهٔ چهارضلعی ها

می‌توانیم چهارضلعی‌ها را به صورت مجموعه‌های زیرمجموعه در نظر بگیریم. همه مربع‌ها، مستطیل‌ها و لوزی‌ها، نوعی متوازی‌الاضلاع هستند.

مثال:

هر مربعی یک لوزی است، اما هر لوزی‌ای مربع نیست (مگر اینکه زاویه ۹۰ درجه داشته باشد).

8 خاصیت های چهارضلعی ها

این خاصیت‌ها شامل ویژگی‌های ضلع‌ها، زاویه‌ها و قطرهاست:

متوازی‌الاضلاع: قطرهایش یکدیگر را نصف می‌کنند.

مستطیل: علاوه بر نصف کردن، قطرها با هم برابرند.

لوزی: علاوه بر نصف کردن، قطرها بر هم عمودند.

مربع: قطرها هم مساوی‌اند، هم منصف‌اند و هم بر یکدیگر عمودند.

9 پیدا کردن مجموع زاویه های داخلی یک چند ضلعی

برای یک n ضلعی، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

\((n - 2) \times {180^ \circ }\)

مثال:

برای یک پنج‌ضلعی :(n=5)

\((5 - 2) \times {180^ \circ } = 3 \times {180^ \circ } = {540^ \circ }\)

10 پیدا کردن زاویهٔ داخلی یک چند ضلعی منتظم

چون در چندضلعی منتظم همه زاویه‌ها با هم برابرند، مجموع زاویه‌ها را بر تعداد اضلاع (n) تقسیم می‌کنیم:

\(\frac{{(n - 2) \times {{180}^ \circ }}}{n}\)

مثال:

اندازه هر زاویه یک ۶ضلعی منتظم:

\(\frac{{(6 - 2) \times {{180}^ \circ }}}{6} = \frac{{{{720}^ \circ }}}{6} = {120^ \circ }\)

11 پیدا کردن مجموع زاویه های خارجی یک چند ضلعی

مجموع زاویه‌های خارجی هر چندضلعی محدب ، همواره برابر با ۳۶۰ درجه است و به تعداد اضلاع بستگی ندارد.

12 پیدا کردن زاویهٔ خارجی یک رأس مثلث

در هر مثلث، اندازه هر زاویه خارجی برابر است با مجموع دو زاویه داخلیِ غیر مجاور آن.

مثال:

اگر دو زاویه داخلی یک مثلث ۵۰ و ۶۰ درجه باشند، زاویه خارجی رأس سوم برابر است با:

\({50^ \circ } + {60^ \circ } = {110^ \circ }\)

\( = \frac{{(n - 2) \times {{180}^ \circ }}}{n} = \frac{{(8 - 2) \times {{180}^ \circ }}}{8} = {135^ \circ }\) زاویه داخلی

\( = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} = \frac{{{{360}^ \circ }}}{8} = {45^ \circ }\) زاویه خارجی