جواب تمرین های ترکیبی صفحه 150 درس 9 ریاضی هشتم (دایره)

الف خط مماس

خطی است که فقط در یک نقطه با دایره تماس داشته باشد.

ب زاویهٔ مرکزی

زاویه ای است که رأس آن، مرکز دایره و اضلاع آن، شعاع های دایره باشد.

پ زاویهٔ محاطی

زاویه ای است که رأس آن، روی نقاط دایره و اضلاع آن، وترهای دایره باشد.

ت پیدا کردن مرکز دایره

ابتدا دو وتر می کشیم. سپس دو خط عمود بر این دو وتر، از وسط وتر، رسم می کنیم. هر خط عمود مربوط به یک وتر است. این دو خط عمود را امتداد می دهیم تا یک دیگر را قطع کنند. این نقطه تقاطع، مرکز دایره است.

ث تساوی کمان ها و وترهای متناظر

در شکل زیر دو کمان \(\mathop {AB}\limits^\frown \,\) و \(\mathop {CD}\limits^\frown \,\) با هم برابرند. می خواهیم ثابت کنیم که دو وتر AB و CD با هم برابرند. داریم:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overline {OA} = \overline {OB} = \overline {OC} = \overline {OD} }\\{\mathop {AB}\limits^\frown \, = \mathop {CD}\limits^\frown \, \Rightarrow \widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\;}\end{array}} \right. \Rightarrow A\mathop O\limits^\Delta B \cong C\mathop O\limits^\Delta D \Rightarrow \overline {AB} = \overline {CD} \)

در شکل زیر دو وتر \(\overline {AB} \) و \(\overline {CD} \) با هم برابرند. می خواهیم ثابت کنیم که دو کمان \(\mathop {AB}\limits^\frown \,\) و \(\mathop {CD}\limits^\frown \,\) با هم برابرند. داریم:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overline {OA} = \overline {OB} = \overline {OC} = \overline {OD} }\\{\overline {AB} = \overline {CD} \begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}&{}\end{array}}\end{array}} \right. \Rightarrow A\mathop O\limits^\Delta B \cong C\mathop O\limits^\Delta D \Rightarrow \widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\, \Rightarrow \mathop {AB}\limits^\frown = \mathop {CD}\limits^\frown \)

خ رسم خط مماس بر دایره

شکل زیر را در نظر بگیرید. شعاع دایره را رسم می کنیم تا دایره را در نقطه T قطع کند. آنگاه از همین نقطه یک خط بر شعاع دایره عمود می کنیم. این خط جدید در نقطه T با دایره مماس است.

ج رسم چندضلعی منتظم به کمک زاویهٔ مرکزی

فرض کنید می خواهیم یک پنج ضلعی منتظم رسم کنیم. ابتدا 360 درجه را بر 5 تقسیم ممی کنیم و زاویه 72 درجه بدست می آید. حال زوایای مرکزی 72 درجه را رسم می کنیم.حال نقاطی را که از تقاطع شعاع های دایره و دایره بوجود آمده را به هم وصل می کنیم. شکل ایجاد شده یک پنج ضلعی منتظم است.

چ پیدا کردن زاویهٔ محاطی با توجه به کمان روبه روی آن 

شکل زیر را در نظر بگیرید. ثابت می کنیم که زاویه محاطی برابر نصف کمان مقابل آن است.

\(\begin{array}{l}\widehat A = \widehat B \Rightarrow \mathop {BC}\limits^\frown \, = \widehat {{O_1}} = \widehat A + \widehat B = 2 \times \widehat A\\ \Rightarrow \widehat A = \frac{{\mathop {BC}\limits^\frown }}{2}\end{array}\)

\(\widehat C = {30^ \circ }\,,\,C\widehat OB = {60^ \circ },\,\mathop {BC}\limits^\frown \,\, = {60^ \circ }\)

قطر دایره (D) برابر ضلع مربع (a)است. در نتیجه :

\(\begin{array}{l}{a^2} + {a^2} = {24^2}\\2{a^2} = {24^2} \Rightarrow a = \sqrt {288} = 12\sqrt 2 \\ \Rightarrow D = 12\sqrt 2 \end{array}\)

الف زیرا زوایای محاطی ایجاد شده از اضلاع این چهارضلعی مقابل کمان ایجاد شده از قطر دایره است و در نتیجه زاویه قائمه هستند. در نتیجه این چار ضلعی تشکیل مستطیل می دهد.

ب

\(\begin{array}{l}r = 5\; \Rightarrow D = 2r = 10\\{L^2} = {D^2} - {H^2} = 100 - 19 = 81\\ \Rightarrow L = \sqrt {81} = 9\end{array}\)