جواب مرور فصل 5 صفحه 82 درس 5 ریاضی هشتم (بردار و مختصات)

1 جمع (برایند) بردارها

جمع بردارها یا همان «بردار برایند»، برداری است که نتیجه و اثر نهایی دو یا چند بردار را نشان می‌دهد. فرض کن شخصی ابتدا از نقطه A به B و سپس از B به C برود؛ بردار برایند (c) مستقیماً از شروع (A) به پایان (C) وصل می‌شود.

به عنوان مثال، اگر بردار \(\vec a = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4\\2\end{array}} \right]\) و بردار \(\vec b = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{ - 4}\end{array}} \right]\) باشد، بردار برایند از جمع طول‌ها با هم و عرض‌ها با هم به دست می‌آید:

\(\vec c = \vec a + \vec b = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4\\2\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{ - 4}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 + 3}\\{2 + ( - 4)}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}7\\{ - 2}\end{array}} \right]\)

2 تجزیهٔ بردار

تجزیه بردار دقیقاً عکس عمل جمع است؛ یعنی یک بردار را به دو بردار در امتدادهای مشخص تبدیل می‌کنیم. این کار مثل این است که بپرسیم کدام دو بردار در راستاهای مشخص (مثلاً افقی و عمودی) با هم جمع شده‌اند تا این بردار خاص را بسازند.

به عنوان مثال، در فیزیک، نیروی وزن جعبه‌ای که روی سطح شیب‌دار است را به دو مؤلفه (یکی در امتداد سطح و دیگری عمود بر آن) تجزیه می‌کنیم.

3 ضرب عدد در بردار

وقتی یک عدد (اسکالر) در یک بردار ضرب می‌شود، اندازه آن بردار تغییر می‌کند و ممکن است جهت آن هم عوض شود. ضرب عدد مثبت در بردار، طول آن را چند برابر می‌کند اما جهت را تغییر نمی‌دهد؛ اما ضرب عدد منفی، جهت بردار را کاملاً قرینه می‌کند.

به عنوان مثال، اگر بردار \(\vec a = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\{ - 1}\end{array}} \right]\) باشد، حاصل \(3\vec a\) برابر است با \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}6\\{ - 3}\end{array}} \right]\) و حاصل \( - 2\vec a\) برابر است با \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}\\2\end{array}} \right]\)

4 بردارهای واحد مختصات

بردارهای واحد، خشت‌های بنای دستگاه مختصات هستند که طول آن‌ها برابر با ۱ واحد است. ما دو بردار واحد اصلی داریم: \(\vec i\) که واحد حرکت در راستای افقی (محور x) است و \(\vec j\) که واحد حرکت در راستای عمودی (محور y) است.

هر بردار را می‌توان بر حسب این دو بردار نوشت. مثلاً بردار \(\vec a = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\4\end{array}} \right]\) به صورت \(\vec a = 3\vec i + 4\vec j\) نمایش داده می‌شود.

1 پیدا کردن جمع دو بردار

زمانی که انتهای بردار اول، ابتدای بردار دوم باشد، از این روش استفاده می‌کنیم. بردار حاصل‌جمع (برایند)، برداری است که از ابتدای بردار اول به انتهای بردار دوم رسم می‌شود.

مثال: اگر بردار \(\vec a\) حرکت به سمت راست و بردار \(\vec b\) از انتهای آن به سمت بالا باشد، بردار \(\vec c\) که شروع را به پایان وصل می‌کند، همان \(\vec a + \vec b\) است.

2 پیدا کردن برایند دو بردار که ابتدای آنها یک نقطه باشد

اگر دو بردار از یک نقطه شروع شده باشند، برای یافتن برایند، از انتهای هر کدام خطی موازی بردار دیگر رسم می‌کنیم تا یک متوازی‌الاضلاع ساخته شود. قطر این شکل که از ابتدای مشترک شروع می‌شود، بردار برایند است.

مثال: دو نفر که هم‌زمان یک قایق را با طناب از یک نقطه می‌کشند؛ جهت حرکت نهایی قایق، قطر متوازی‌الاضلاعی است که بردار نیروهای آن‌ها می‌سازد.

3 نوشتن جمع برداری و جمع مختصاتی

هر رابطه‌ی برداری را می‌توان به زبان مختصات نوشت. در این روش، طول‌ها با هم و عرض‌ها با هم جمع می‌شوند.

مثال:

تساوی برداری: \(\vec a + \vec b = \vec c\)

تساوی مختصاتی: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\3\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 4}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 + 1}\\{3 + ( - 4)}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{ - 1}\end{array}} \right]\)

4 ضرب یک عدد در بردار

وقتی عددی مثل k در یک بردار ضرب می‌شود، آن عدد هم در طول و هم در عرض بردار ضرب می‌گردد. این کار اندازه بردار را تغییر می‌دهد و اگر عدد منفی باشد، جهت آن را قرینه می‌کند.

مثال:

\(3 \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\5\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 6}\\{15}\end{array}} \right]\)

5 رسم بردارهای ترکیبی که شامل حاصل جمع مضرب های دو بردارند.

این کار شامل رسم مضرب‌های دو یا چند بردار پشت سر هم است.

مثال: برای رسم بردار \(2\vec a + 3\vec b\) ، ابتدا برداری دو برابر \(\vec a\) رسم می‌کنیم و سپس از انتهای آن، برداری سه برابر \(\vec b\) می‌کشیم.

6 پیدا کردن مختصات بردارهای ترکیبی

برای این کار، ابتدا اعداد را در مختصات هر بردار ضرب کرده و سپس نتایج را با هم جمع می‌کنیم.

مثال: اگر \(\vec a = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}} \right]\) و \(\vec b = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - 1}\end{array}} \right]\) باشد، مختصات بردار \(2\vec a + 3\vec b\) برابر است با:

\(2\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}} \right] + 3\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - 1}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\4\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - 3}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right]\)

7 تجزیهٔ یک بردار روی دو امتداد

تجزیه یعنی یافتن دو بردار در راستاهای مشخص که جمع آن‌ها برابر با بردار اصلی ما باشد. این کار دقیقاً عکس عمل جمع است.

مثال: تجزیه نیروی وزن (W) یک جعبه روی سطح شیب‌دار به دو امتداد عمود بر هم (یکی موازی سطح و دیگری عمود بر سطح).

8 نوشتن مختصات بردار با بردارهای واحد مختصات

هر بردار را می‌توان به صورت ترکیبی از بردارهای واحد \(\vec i\) و \(\vec j\) نمایش داد.

مثال: بردار \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{ - 2}\end{array}} \right]\) را می‌توان به صورت \(3\vec i - 2\vec j\) نوشت.

9 نمایش بردارهای واحد مختصات به صورت مختصاتی

بردار واحد محور افقی را با \(\vec i\) و بردار واحد محور عمودی را با \(\vec j\) نشان می‌دهیم.

مثال: \(\vec i = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right]\) و \(\vec j = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}} \right]\)

10 حل کردن معادله های شامل بردار

مانند معادلات جبری، هدف یافتن بردار مجهول (\(\vec x\)) است. با استفاده از انتقال جملات و تقسیم بر ضریب، مجهول را پیدا می‌کنیم.

مثال: در معادله \(2\vec x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}8\\{ - 6}\end{array}} \right]\)، بردار مجهول برابر است با: \(\vec x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4\\{ - 3}\end{array}} \right]\)

\(\begin{array}{l}2\vec a - \vec b = 3\vec x\\\\ \Rightarrow 2(\vec i - \vec j) - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\5\end{array}} \right] = 3\vec x\\\\ \Rightarrow 2\vec i - 2\vec j - (2\vec i + 5\vec j) = 3\vec x\\\\ \Rightarrow 2\vec i - 2\vec j - 2\vec i - 5\vec j = 3\vec x\\\\ \Rightarrow 3\vec x = - 7\vec j\\\\ \Rightarrow \vec x = - \frac{7}{3}\vec j\end{array}\)

\(\vec c = 2\vec a - \vec b = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}5\\{ - 2}\end{array}} \right]\)