جواب مرور فصل 4 صفحه 68 درس 4 ریاضی هشتم (جبر و معادله)

1 جمله های متشابه

جملاتی هستند که قسمت حرفی (متغیرها و توان‌های آن‌ها) دقیقاً یکسان باشد. در این جملات، فقط ضریب‌های عددی می‌توانند متفاوت باشند. ما فقط جملات متشابه را می‌توانیم با هم جمع یا تفریق کنیم.

مثال: جملات \(7xy\) و \( - 3xy\) متشابه هستند چون قسمت حرفی هر دو \(xy\) است. اما \(5{x^2}\) و \(5x\) متشابه نیستند چون توان‌های x متفاوت است.

روش ساده کردن: \(9x + 7x - 8x = (9 + 7 - 8)x = 8x\)

2 معادله

معادله یک تساوی جبری است که به ازای مقادیر خاصی از مجهول (معمولاً x) برقرار می‌ماند. حل معادله یعنی پیدا کردن آن عدد خاص که تعادل را در دو طرف تساوی برقرار می‌کند.

مثال: در معادله \(x + 4 = 12\)، هدف ما پیدا کردن عددی است که اگر با ۴ جمع شود، حاصل ۱۲ گردد.

روش حل: جملات شامل مجهول را به یک طرف و اعداد را به طرف دیگر منتقل می‌کنیم (با تغییر علامت) و سپس مجهول را پیدا می‌کنیم.

3 تجزیه کردن (تبدیل به ضرب)

تجزیه یعنی تبدیل یک عبارت که به صورت جمع یا تفریق است، به صورت ضرب دو یا چند عبارت. این کار دقیقاً عکس خاصیت توزیع‌پذیری (ضرب) است.

مثال: عبارت ab + ac را می‌توان با فاکتورگیری از عامل مشترک (a) به صورت a(b + c) نوشت.

روش فاکتورگیری: ابتدا بزرگترین بخش مشترک بین جملات را پیدا کرده، بیرون پرانتز می‌نویسیم و سپس هر جمله را بر آن بخش مشترک تقسیم می‌کنیم تا داخل پرانتز پر شود.

مثال عددی: \(4{x^2} - 6x = 2x(2x - 3)\)

1 تبدیل عبارت جبری به عبارت کلامی و برعکس

در این روش، مفاهیم ریاضی را به زبان فارسی یا برعکس ترجمه می‌کنیم.

مثال: «یک به توان هر عدد برابر یک می‌شود» به صورت جبری می‌شود: \({1^a} = 1\)

همچنین عبارت \(2n - 1\) یعنی: «دو برابر یک عدد طبیعی منهای یک».

حروف انگلیسی نماد اعداد مجهول یا متغیر هستند و کلمات، عملیات ریاضی را توصیف می‌کنند.

2 ساده کردن یک عبارت جبری با جمع جمله های متشابه

جملاتی که قسمت حرفی (متغیر و توان) آن‌ها دقیقاً مثل هم باشد، متشابه نامیده می‌شوند و می‌توانیم ضریب‌های عددی آن‌ها را با هم جمع یا تفریق کنیم.

مثال: عبارت \(9x + 7x - 8x + 5\) ساده شده‌اش می‌شود \(8x + 5\)

در جمع و تفریق، فقط با عددها (ضریب‌ها) کار داریم و حروف را خودش را می‌نویسیم.

3 ضرب جمله در پرانتز

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، عدد یا عبارت بیرون پرانتز را در تک‌تک جملات داخل پرانتز ضرب می‌کنیم.

مثال: \(5(a + b) = 5a + 5b\)

حتماً به علامت‌های مثبت و منفی هنگام ضرب دقت کن.

4 پیدا کردن مقدار عددی یک عبارت

به جای حروف (متغیرها) در عبارت جبری، عددهای داده شده را قرار می‌دهیم و حاصل را حساب می‌کنیم.

مثال: در رابطه U = mgh اگر جرم m=25، شتاب g=10 و ارتفاع h=4 باشد، انرژی پتانسیل می‌شود: \(25 \times 10 \times 4 = 1000\)

اولویت عملیات (اول توان، بعد ضرب و تقسیم، آخر جمع و تفریق) را رعایت کن.

5 تبدیل یک عبارت به ضرب

این کار دقیقاً عکس ضرب در پرانتز است. بزرگ‌ترین بخش مشترک جملات را پیدا کرده و به عنوان عامل مشترک بیرون پرانتز می‌نویسیم.

مثال: \(6ab + 4{a^2} = 2a(3b + 2a)\)

به این کار «فاکتورگیری» هم می‌گویند.

6 بیان رابطهٔ جبری برای الگوهای مساحت و محیط و ...

برای شکل‌های هندسی یا الگوهای عددی، فرمولی جبری می‌نویسیم که برای هر مرحله یا اندازه‌ای درست باشد.

مثال: مساحت کل یک مکعب مستطیل به ابعاد a، b و c برابر است با: \(2(ab + bc + ac)\)

حرف n معمولاً برای شماره‌ی شکل در الگوها استفاده می‌شود.

7 ضرب جمله در جمله

عددهای ضریب را در هم ضرب می‌کنیم و برای حروف، از قانون توان‌ها استفاده می‌کنیم (پایه‌های مساوی، جمع توان‌ها).

مثال: \(( - 3ba) \times (2{a^2}{b^2}) = - 6{a^3}{b^3}\)

اگر حروفی مشابه نبودند، آن‌ها را کنار هم می‌نویسیم.

8 ضرب پرانتز در پرانتز

هر جمله از پرانتز اول را در تمام جملات پرانتز دوم ضرب می‌کنیم.

مثال: \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)

بعد از ضرب، اگر جملات متشابهی وجود داشت، حتماً آن‌ها را ساده کن.

9 حل معادله های کسری

برای راحت شدن حل، تمام جملات معادله را در کوچک‌ترین مضرب مشترک مخرج‌ها ضرب می‌کنیم تا کسرها از بین بروند.

مثال: برای حل \(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\) ، تمام جملات را در ۶ ضرب می‌کنیم: \(3x - 2 = 5\)

بعد از حذف مخرج، معادله به یک معادله‌ی معمولی تبدیل می‌شود که با معلوم و مجهول کردن حل می‌شود.

\(\begin{array}{l}{(a + b)^2} - {(a - b)^2} = \\\\({a^2} + 2ab + {b^2}) - ({a^2} - 2ab + {b^2}) = \\\\{a^2} + 2ab + {b^2} - {a^2} + 2ab - {b^2} = \\\\2ab + 2ab = 4ab\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\\\b = - 2\end{array} \right.\\\\{(a + b)^2} - {(a - b)^2} = \\\\{(2 - 2)^2} - {(2 + 2)^2} = \\\\{0^2} - {4^2} = 0 - 16 = - 16\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\\\b = - 2\end{array} \right.\\\\4ab = 4(2)( - 2) = - 16\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{2} - \frac{{x + 1}}{3} = \frac{1}{6}\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{ \times 6} \,\,\,\,\,3(x - 1) - 2(x + 1) = 1\\\\ \Rightarrow \,\,\,\,\,3x - 3 - 2x - 2 = 1\\\\ \Rightarrow \,\,\,\,\,x - 5 = 1\\\\ \Rightarrow \,\,\,\,\,x = 1 + 5 = 6\end{array}\)

\(\begin{array}{l}2x - 1 = 3(x - 1)\\\\ \Rightarrow \,\,\,\,\,2x - 1 = 3x - 3\\\\ \Rightarrow \,\,\,\,\, - 1 + 3 = 3x - 2x\\\\ \Rightarrow \,\,\,\,\,x = 2\end{array}\)