جواب تمرین صفحه 80 درس 5 ریاضی هشتم (بردار و مختصات)

\(\begin{array}{l}\vec a = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\7\end{array}} \right] = 3\vec i + 7\vec j\\\\\vec b = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\5\end{array}} \right] = - 2\vec i + 5\vec j\\\\\vec c = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{ - 2}\end{array}} \right] = 3\vec i - 2\vec j\\\\\vec d = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\{ - 4}\end{array}} \right] = - 2\vec i - 4\vec j\\\\\vec e = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}\\0\end{array}} \right] = - 5\vec i\\\\\vec f = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - 2}\end{array}} \right] = - 2\vec j\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\vec a = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right] = 2\vec i + \vec j\\\\\vec b = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\3\end{array}} \right] = - 2\vec i + 3\vec j\\\\\vec c = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}5\\{ - 1}\end{array}} \right] = 5\vec i - \vec j\\\\\vec d = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 6}\\{ - 4}\end{array}} \right] = - 6\vec i - 4\vec j\end{array}\)

الف

\(\vec c = 3\vec a + 2\vec b = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - 5}\end{array}} \right]\)

این روش را می توان روش هندسی نامید. به دست آوردن جواب از این راه نیاز به رسم دقیق بردارها دارد و نیاز به کمی زمان هست و هنگامی که اعداد بزرگ باشند، ایجاد مشکل می کند.

ب

\(\begin{array}{l}\vec c = 3\vec a + 2\vec b = \\\\3\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\{ - 1}\end{array}} \right] + 2\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{ - 1}\end{array}} \right] = \\\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 6}\\{ - 3}\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}6\\{ - 2}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - 5}\end{array}} \right]\end{array}\)

روش ب را می توان روش جبری نامید که سریع تر و دقیق تر از روش هندسی است و با بزرگ شدن اعداد و مختصات بردارها، هیچ مشکلی ایجاد نمی شود. بنابراین این روش برای رایانه ای شدن مناسب تر است.

\(\begin{array}{l}2\vec x - \vec j = 2\vec a - \vec b\\\\ \Rightarrow 2\vec x - \vec j = 2(2\vec i - 3\vec j) - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\2\end{array}} \right]\\\\ \Rightarrow 2\vec x - \vec j = 2(2\vec i - 3\vec j) - ( - \vec i + 2\vec j)\\\\ \Rightarrow 2\vec x - \vec j = 4\vec i - 6\vec j + \vec i - 2\vec j\\\\ \Rightarrow 2\vec x - \vec j = 5\vec i - 8\vec j\\\\ \Rightarrow 2\vec x = 5\vec i - 8\vec j + \vec j\\\\ \Rightarrow 2\vec x = 5\vec i - 7\vec j\\\\ \Rightarrow \vec x = \frac{5}{2}\vec i - \frac{7}{2}\vec j = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{5}{2}}\\{ - \frac{7}{2}}\end{array}} \right]\end{array}\)

در هر مرحله، یک واحد به مختصات طولی و عرضی حرکت اضافه شده است. در حرکت اول ربات در نقطه \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\end{array}} \right]\)، در حرکت دوم در نقطه \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + 2}\\{1 + 2}\end{array}} \right]\) و در حرکت سوم \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + 2 + 3}\\{1 + 2 + 3}\end{array}} \right]\) قرار دارد.

به طور کلی بعد از x بار حرکت، ربات به نقطۀ رو به رو می رسد:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + 2 + 3 + \cdots + x}\\{1 + 2 + 3 + \cdots + x}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x(x + 1)}}{2}}\\{\frac{{x(x + 1)}}{2}}\end{array}} \right]\)

پس بعد از حرکت پنجم به نقطۀ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{15}\\{15}\end{array}} \right]\) می رسد.

خیر، اشتباه فکر می کند؛ زیرا برآیند این چند بردار، برداری است که ابتدای آن، ابتدای اولین بردار و انتهای آن، انتهای آخرین بردار است؛ برای مثال:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\vec a = 5\vec i - \vec j\\\\\vec b = - 2\vec i + 3\vec j\end{array} \right.\\\\\vec a + \vec b = \vec c\\\\ \Rightarrow \vec c = 3\vec i + 2\vec j\end{array}\)

طبق پیشنهاد حمیده، بردار برآیند بایستی بزرگتر از دو بردار دیگر باشد، اما چنین نیست.

در کل 28 واحد حرکت کرده است:

\(6 + 2 + 2 + 4 + 2 + 1 + 6 + 5 = 28\)واحد 

خودرو 2 واحد جا به جا شده است.