شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
1 الف به کمک شکل روبه رو حاصل عبارت زیر را به دست آورید.
1+3+5+…+(2n-1)=
\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2}\)
ب اکنون با استفاده از فرمول درستی جواب خود در قسمت الف را بررسی کنید.
\(\left. \begin{array}{l}{a_1} = 1\\\\{a_n} = 2n - 1\end{array} \right\} \Rightarrow {S_n} = \frac{n}{2}({a_1} + {a_n}) = \frac{n}{2}(1 + 2n - 1) = {n^2}\)
2 مجموع همه اعداد طبیعی سه رقمی که مضرب شش هستند چقدر می شود؟
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}{a_1} = 102\\\\{a_n} = 996\\\\d = \frac{{{a_n} - {a_{}}}}{{n - 1}}\end{array} \right\} \Rightarrow 6 = \frac{{996 - 102}}{{n - 1}} \Rightarrow n = \frac{{894}}{6} + 1 = 150\\\\ \Rightarrow {S_{150}} = \frac{n}{2}({a_1} + {a_n}) = \frac{{150}}{2}(102 + 996) = 82,350\end{array}\)
3 در دنباله حسابی 5 , 8 , 11 , … حداقل چند جمله آن را با هم جمع کنیم تا حاصل آن از 493 بیشتر شود؟
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a = 5\\\\d = 3\end{array} \right\} \Rightarrow {a_n} = a + (n - 1)d = 3n + 2\\\\{S_n} > 493 \Rightarrow n = ?\\\\{S_n} = \frac{n}{2}({a_1} + {a_n}) = \frac{n}{2}(3n + 7) > 493\\\\ \Rightarrow 3{n^2} + 7n - 986 > 0 \Rightarrow n > 17 \Rightarrow n = 18\\\\ \Rightarrow {S_{18}} = 594 > 493\end{array}\)
4 در 20 جمله اول یک دنباله حسابی مجموع جملات شماره های فرد 135 و مجموع جملات شماره های زوج 150 می باشد. جمله اول و قدر نسبت دنباله را مشخص کنید.
\(\begin{array}{l}{S_n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]\\\\150 + 135 = \frac{{20}}{2}[2a + 19d] \Rightarrow 20a + 190d = 285\\\\ \Rightarrow 4a + 38d = 57\,\,\,(1)\\\\a + (a + 2d) + (a + 4d) + ... + (a + 18d) = 135\\\\ \Rightarrow 10a + 90d = 135 \Rightarrow 2a + 18d = 27\,\,\,(2)\\\\(1)\,,\,(2):\\\\\left\{ \begin{array}{l}4a + 38d = 57\\\\2a + 18d = 27\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\\\d = 1/5\end{array} \right.\end{array}\)
5 جمله عمومی یک دنباله به صورت \({a_n} = {2^{n - 1}}\) است. چند جمله از این دنباله را با هم جمع کنیم تا مجموع آنها برابر 255 شود؟
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}{a_1} = {2^{ - 1}} = {2^0} = 1\\\\q = 2\\\\{S_n} = 255 \Rightarrow n = ?\end{array} \right\} \Rightarrow {S_n} = {a_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\\\\ \Rightarrow 255 = 1 \times \frac{{1 - {2^n}}}{{1 - 2}} \Rightarrow {2^n} - 1 = 255 \Rightarrow {2^n} = 256 = {2^8}\\\\ \Rightarrow n = 8\end{array}\)
6 طول ضلع مربعی یک متر است. ابتدا نیمی از مساحت مربع را رنگ می کنیم. سپس نیمی از مساحت باقی مانده را و به همین ترتیب در هر مرحله نیمی از مساحت باقی مانده از قبل را رنگ می کنیم. پس از دست کم چند مرحله حداقل 99 درصد سطح مربع رنگ شده است؟
\(\begin{array}{l}\frac{1}{2}\,,\,\frac{1}{4}\,,\,\frac{1}{8}\,,\,...\\\\\left. \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\\\q = \frac{1}{2}\\\\{S_n} > \frac{{99}}{{100}} \Rightarrow {n_{\min }} = ?\end{array} \right\} \Rightarrow {S_n} = a\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = \frac{1}{2}\frac{{1 - {{(\frac{1}{2})}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}}\\\\ \Rightarrow {S_n} = 1 - {(\frac{1}{2})^n} > \frac{{99}}{{100}} \Rightarrow {(\frac{1}{2})^n} < 1 - \frac{{99}}{{100}} = \frac{1}{{100}}\\\\\left. \begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{{2^n}}} < \frac{1}{{100}}\\\\\frac{1}{{{2^7}}} = \frac{1}{{128}} < \frac{1}{{100}}\end{array} \right\} \Rightarrow n = 7\end{array}\)
7 برای عدد حقیقی \((a \ne 1)\,\,a\) و عدد طبیعی n؛
الف حاصل عبارت زیر را به دست آورید.
\(1 + a + {a^2} + ... + {a^{n - 1}}\)
\(\begin{array}{l}1\,,\,a\,,\,{a^2}\,,\,...\,,\,{a^{n - 1}}\\\\{S_n} = 1 + a + {a^2} + ... + {a^{n - 1}}\,\,\,(1)\\\\\left. \begin{array}{l}{a_1} = 1\\\\q = a\end{array} \right\}{S_n} = {a_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 1 \times \frac{{1 - {a^n}}}{{1 - a}} = \frac{{{a^n} - 1}}{{a - 1}}\,\,\,(2)\\\\(1)\,,\,(2):\\\\1 + a + {a^2} + ... + {a^{n - 1}} = \frac{{{a^n} - 1}}{{a - 1}}\end{array}\)
ب با استفاده از قسمت الف نتیجه بگیرید که:
\({a^n} - 1 = (a - 1)({a^{n - 1}} + ... + {a^2} + a + 1)\)
\(\begin{array}{l}\frac{{{a^n} - 1}}{{a - 1}} = 1 + a + {a^2} + ... + {a^{n - 1}}\\\\{a^n} - 1 = (a - 1)({a^{n - 1}} + ... + {a^2} + a + 1)\end{array}\)
1736019749.png)
