گام به گام تمرین صفحه 35 درس 1 حسابان یازدهم (جبر و معادله)

الف

برای رسم مثلث، ابتدا محورهای مختصات x و y را رسم می‌کنیم. سپس هر کدام از نقاط A، B و C را با توجه به طول (x) و عرض (y) آن‌ها روی صفحه مشخص کرده و نقاط را به هم وصل می‌کنیم.

ب

برای اینکه نشان دهیم مثلث متساوی‌الساقین است، باید طول اضلاع آن را محاسبه کنیم. اگر دو ضلع طول برابر داشته باشند، مثلث متساوی‌الساقین است.

طول اضلاع AB و BC را محاسبه می‌کنیم:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}} \\BC = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_C}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_C}} \right)}^2}} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( {\left( { - 1} \right) - \left( { - 6} \right)} \right)}^2} + {{\left( {7 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}} \\BC = \sqrt {{{\left( {\left( { - 6} \right) - 3} \right)}^2} + {{\left( {\left( { - 2} \right) - 3} \right)}^2}} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \sqrt {{5^2} + {9^2}}  = \sqrt {25 + 81} = \sqrt {106} \\BC = \sqrt {{{\left( { - 9} \right)}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}}  = \sqrt {81 + 25} = \sqrt {106} \end{array} \right.\\\\ \Rightarrow AB = BC\end{array}\)

چون طول دو ضلع AB و BC برابر شد، مثلث ABC متساوی‌الساقین است.

پ

عمودمنصف یک پاره‌خط، خطی است که از وسط آن پاره‌خط می‌گذرد و بر آن عمود است. برای یافتن معادله عمودمنصف ضلع BC، به دو چیز نیاز داریم:

1. مختصات نقطه M، وسط پاره‌خط BC.
2. شیب خط عمودمنصف که قرینه معکوس شیب خط BC است.

ابتدا مختصات نقطه M (وسط BC) و سپس شیب خط BC و شیب خط عمودمنصف ('m) را محاسبه می‌کنیم:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{{\left( { - 6} \right) + 3}}{2} = \frac{{ - 3}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{{\left( { - 2} \right) + 3}}{2} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 3}}{2},\frac{1}{2}} \right)\\\\{m_{BC}} = \frac{{{y_B} - {y_C}}}{{{x_B} - {x_C}}} = \frac{{\left( { - 2} \right) - 3}}{{\left( { - 6} \right) - 3}} = \frac{{ - 5}}{{ - 9}} = \frac{5}{9}\\ \Rightarrow {{m'}} = \frac{{ - 1}}{{{m_{BC}}}} = \frac{{ - 1}}{{\frac{5}{9}}} = - \frac{9}{5}\end{array}\)

حالا معادله خط عمودمنصف را با استفاده از نقطه M و شیب 'm می‌نویسیم:

\(\begin{array}{l}y - {y_M} = {{m'}}\left( {x - {x_M}} \right)\\ \Rightarrow y - \frac{1}{2} = - \frac{9}{5}\left( {x - \left( { - \frac{3}{2}} \right)} \right)\\ \Rightarrow y - \frac{1}{2} = - \frac{9}{5}\left( {x + \frac{3}{2}} \right)\\ \Rightarrow y - \frac{1}{2} = - \frac{9}{5}x - \frac{{27}}{{10}}\\ \Rightarrow y = - \frac{9}{5}x - \frac{{27}}{{10}} + \frac{1}{2}\\ \Rightarrow y = - \frac{9}{5}x - \frac{{27}}{{10}} + \frac{5}{{10}}\\ \Rightarrow y = - \frac{9}{5}x - \frac{{22}}{{10}}\\ \Rightarrow y = - \frac{9}{5}x - \frac{{11}}{5}\end{array}\)

یا به صورت استاندارد: \(10y = -18x - 22 \Rightarrow 18x + 10y = -22 \Rightarrow 9x + 5y = -11\)

ت

ارتفاع AH، پاره‌خطی است که از راس A بر ضلع مقابل (BC) عمود می‌شود. طول ارتفاع AH برابر با فاصله نقطه A تا خط BC است.

ابتدا معادله خط BC را به فرم استاندارد \(ax + by + c = 0\) می‌نویسیم. از قسمت قبل شیب BC را 5/9 داریم:

\(\begin{array}{l}y - {y_C} = {m_{BC}}\left( {x - {x_C}} \right)\\ \Rightarrow y - 3 = \frac{5}{9}\left( {x - 3} \right)\\ \Rightarrow 9(y - 3) = 5(x - 3)\\ \Rightarrow 9y - 27 = 5x - 15\\ \Rightarrow 5x - 9y + 12 = 0\end{array}\)

حالا فاصله نقطه A(-1, 7) را از خط \(5x - 9y + 12 = 0\) محاسبه می‌کنیم:

\(\begin{array}{l}AH = \frac{{\left| {5{x_A} - 9{y_A} + 12} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 9} \right)}^2}} }}\\ = \frac{{\left| {5\left( { - 1} \right) - 9\left( 7 \right) + 12} \right|}}{{\sqrt {25 + 81} }}\\ = \frac{{\left| { - 5 - 63 + 12} \right|}}{{\sqrt {106} }}\\ = \frac{{\left| { - 56} \right|}}{{\sqrt {106} }} = \frac{{56}}{{\sqrt {106} }}\\ = \frac{{56\sqrt {106} }}{{106}} = \frac{{28\sqrt {106} }}{{53}}\end{array}\)

(توجه: استفاده از معادله \(-5x + 9y - 12 = 0\) نیز به همین جواب منجر می‌شود).

مرکز دایره (O) دقیقاً وسط قطر (AB) قرار دارد. شعاع دایره (R) نصف طول قطر (AB) است.

ابتدا مختصات مرکز O را پیدا می‌کنیم:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_O} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{0 + 8}}{2} = 4\\{y_O} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{6 + \left( { - 8} \right)}}{2} = \frac{{ - 2}}{2} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow O(4, -1)\)

سپس طول قطر AB را محاسبه می‌کنیم:

\(\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {0 - 8} \right)}^2} + {{\left( {6 - \left( { - 8} \right)} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{{\left( { - 8} \right)}^2} + {{\left( {14} \right)}^2}} = \sqrt{64 + 196} = \sqrt{260}\end{array}\)

در نهایت، شعاع R را به دست می‌آوریم:

\(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2\sqrt {65} }}{2} = \sqrt {65}\)

پس مرکز دایره (4, -1) و شعاع آن \(\sqrt{65}\) است.

الف

نقاط انتهای عدسی (A و B) محل برخورد سهمی با محور xها هستند. در این نقاط، مقدار y برابر صفر است. پس باید معادله \(y = x^2 - 8x - 20 = 0\) را حل کنیم تا مقادیر x را پیدا کنیم.

\(\begin{array}{l}{x^2} - 8x - 20 = 0\\ \Rightarrow \Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 8} \right)^2} - 4\left( 1 \right)\left( { - 20} \right) = 64 + 80 = 144\\x = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{ - ( - 8) \pm \sqrt {144} }}{{2(1)}} = \frac{{8 \pm 12}}{2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = \frac{{8 - 12}}{2} = \frac{{ - 4}}{2} = - 2 \Rightarrow A( - 2, 0)\\{x_B} = \frac{{8 + 12}}{2} = \frac{{20}}{2} = 10 \Rightarrow B(10, 0)\end{array} \right.\end{array}\)

ب

طول AB فاصله بین دو نقطه A و B است. چون هر دو نقطه روی محور xها هستند، طول AB برابر با قدر مطلق تفاضل xهای آنهاست.

\(AB = \left| {{x_B} - {x_A}} \right| = \left| {10 - ( - 2)} \right| = \left| {10 + 2} \right| = \left| {12} \right| = 12\;cm\)

پ

بیشترین ضخامت عدسی در این مدل، برابر با عمق سهمی است، یعنی فاصله عمودی از راس سهمی تا محور xها. راس سهمی نقطه‌ای است که سهمی کمترین (یا بیشترین) مقدار y را دارد.

ابتدا x راس سهمی را پیدا می‌کنیم:

\({x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 8)}}{{2(1)}} = \frac{8}{2} = 4\)

سپس y راس سهمی (کمترین مقدار y) را محاسبه می‌کنیم:

\({y_{\min }} = f(x_S) = {(4)^2} - 8(4) - 20 = 16 - 32 - 20 = - 36\)

بیشترین ضخامت عدسی برابر با قدر مطلق \(y_{\min}\) است. چون y بر حسب میلی‌متر است:

\({D_{\max }} = \left| {{y_{\min }}} \right| = \left| { - 36} \right| = 36\;mm\)

برای پیدا کردن فاصله بین دو خط موازی، کافی است یک نقطه دلخواه روی یکی از خط‌ها انتخاب کنیم و سپس فاصله آن نقطه تا خط دیگر را محاسبه کنیم. این فاصله، همان فاصله بین دو خط موازی است.

فرض کنیم \(L_1: ax + by + c = 0\) و \(L_2: ax + by + c' = 0\) دو خط موازی باشند.

نقطه \(A(x_A, y_A)\) را روی خط \(L_1\) در نظر می‌گیریم. پس مختصات این نقطه در معادله \(L_1\) صدق می‌کند:

\(a{x_A} + b{y_A} + c = 0 \Rightarrow a{x_A} + b{y_A} = - c\)

حالا فاصله نقطه A از خط \(L_2\) را با استفاده از فرمول فاصله نقطه از خط محاسبه می‌کنیم. این فاصله (AH) همان فاصله بین دو خط است.

\(\begin{array}{l}AH = \frac{{\left| {a{x_A} + b{y_A} + c'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array}\)

از رابطه‌ای که برای نقطه A به دست آوردیم (\(a{x_A} + b{y_A} = - c\))، در فرمول بالا جایگذاری می‌کنیم:

\(\begin{array}{l}AH = \frac{{\left| {( - c) + c'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {c' - c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array}\)

چون \(|c' - c| = |c - c'|\)، پس فاصله دو خط برابر \(\frac{{\left| {c - c'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) است.

وقتی یک خط بر دایره مماس است، فاصله مرکز دایره تا آن خط دقیقاً برابر با شعاع دایره است.

ابتدا معادله خط را به فرم استاندارد \(ax + by + c = 0\) می‌نویسیم:

\(4x + 3y = 5 \Rightarrow 4x + 3y - 5 = 0\)

حالا فاصله مرکز O(-1, 2) را از این خط محاسبه می‌کنیم که همان شعاع (R) است:

\(R = OT = \frac{{\left| {4{x_O} + 3{y_O} - 5} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{{\left| {4\left( { - 1} \right) + 3\left( 2 \right) - 5} \right|}}{{\sqrt {16 + 9} }} = \frac{{\left| { - 4 + 6 - 5} \right|}}{{\sqrt {25} }} = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{5} = \frac{3}{5}\)

بنابراین، طول شعاع دایره برابر 3/5 است.

الف

نقطه S روی نیم‌دایره‌ای به مرکز مبدأ (0,0) و شعاع 10 قرار دارد. پس فاصله نقطه S تا مبدأ برابر 10 است. از طرفی، مختصات S به صورت (x, 8) داده شده است.

با استفاده از فرمول فاصله یا معادله دایره:

\(\begin{array}{l}OS = R = 10\\OS = \sqrt {{x_S}^2 + {y_S}^2} = \sqrt {{x^2} + {8^2}} \\ \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 64} = 10\end{array}\)

برای حل، طرفین را به توان 2 می‌رسانیم:

\({x^2} + 64 = {10^2} = 100 \Rightarrow {x^2} = 100 - 64 = 36\\ \Rightarrow x = \pm \sqrt {36} = \pm 6\)

بنابراین مختصات نقطه S برابر (6, 8) است.

ب

نقاط P و Q دوسر قطر روی محور xها هستند و چون شعاع 10 است، مختصات آنها P(-10, 0) و Q(10, 0) است. نقطه S هم (6, 8) است. حالا شیب خطوط PS و SQ را محاسبه می‌کنیم.

\(\begin{array}{l}S(6,8),\;P( - 10,0),\;Q(10,0)\\\\{m_{PS}} = \frac{{{y_S} - {y_P}}}{{{x_S} - {x_P}}} = \frac{{8 - 0}}{{6 - ( - 10)}} = \frac{8}{{6 + 10}} = \frac{8}{{16}} = \frac{1}{2}\\\\{m_{SQ}} = \frac{{{y_S} - {y_Q}}}{{{x_S} - {x_Q}}} = \frac{{8 - 0}}{{6 - 10}} = \frac{8}{{ - 4}} = - 2\end{array}\)

پ

برای اینکه نشان دهیم زاویه PSQ قائمه (90 درجه) است، باید ثابت کنیم خطوط PS و SQ بر هم عمودند. دو خط بر هم عمودند اگر حاصلضرب شیب‌هایشان برابر 1- باشد.

بررسی شرط عمود بودن با استفاده از شیب‌ها:

\({m_{PS}} \times {m_{SQ}} = \left( {\frac{1}{2}} \right) \times \left( { - 2} \right) = - 1\)

چون حاصلضرب شیب‌ها 1- شد، پس خطوط PS و SQ بر هم عمودند و زاویه \(P\hat{S}Q = 90^\circ\) است.

از فرمول فاصله نقطه از خط استفاده می‌کنیم و مقدار فاصله را برابر 2 قرار می‌دهیم تا مقدار مجهول a را پیدا کنیم.

ابتدا معادله خط را به فرم استاندارد می‌نویسیم: \(ax + 4y - 1 = 0\). نقطه مورد نظر A(1, 2) و فاصله d=2 است.

\(\begin{array}{l}d = \frac{{\left| {a{x_A} + 4{y_A} - 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {4^2}} }} = 2\\ \Rightarrow \frac{{\left| {a\left( 1 \right) + 4\left( 2 \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 16} }} = 2\\ \Rightarrow \frac{{\left| {a + 8 - 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 16} }} = 2\\ \Rightarrow \frac{{\left| {a + 7} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 16} }} = 2\\ \Rightarrow \left| {a + 7} \right| = 2\sqrt {{a^2} + 16} \end{array}\)

برای حل این معادله قدر مطلقی، طرفین را به توان 2 می‌رسانیم:

\(\begin{array}{l}{\left( {\left| {a + 7} \right|} \right)^2} = {\left( {2\sqrt {{a^2} + 16} } \right)^2}\\ \Rightarrow {\left( {a + 7} \right)^2} = 4\left( {{a^2} + 16} \right)\\ \Rightarrow {a^2} + 14a + 49 = 4{a^2} + 64\\ \Rightarrow 0 = (4{a^2} - {a^2}) - 14a + (64 - 49)\\ \Rightarrow 3{a^2} - 14a + 15 = 0\end{array}\)

این یک معادله درجه دوم است که با استفاده از فرمول دلتا حل می‌کنیم:

\(\begin{array}{l}\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 14} \right)^2} - 4\left( 3 \right)\left( {15} \right) = 196 - 180 = 16\\a = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a'}} = \frac{{ - ( - 14) \pm \sqrt {16} }}{{2(3)}} = \frac{{14 \pm 4}}{6}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = \frac{{14 + 4}}{6} = \frac{{18}}{6} = 3\\{a_2} = \frac{{14 - 4}}{6} = \frac{{10}}{6} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

بنابراین مقادیر ممکن برای a برابر 3 و 5/3 هستند.

الف

میانه نظیر راس C، پاره‌خطی است که راس C را به وسط ضلع مقابلش (یعنی AB) وصل می‌کند. فرض کنیم M وسط AB باشد. میانه نظیر راس C همان خط CM است. ما می‌خواهیم طول عمود وارد شده از راس B بر خط CM را پیدا کنیم. این طول برابر است با فاصله نقطه B از خط CM.

مراحل حل:

1. یافتن مختصات نقطه M (وسط AB).
2. یافتن معادله خط CM.
3. محاسبه فاصله نقطه B از خط CM.

1. محاسبه مختصات M:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{\left( { - 11} \right) + \left( { - 3} \right)}}{2} = \frac{{ - 14}}{2} = - 7\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{\left( { - 13} \right) + 3}}{2} = \frac{{ - 10}}{2} = - 5\end{array} \right. \Rightarrow M( - 7, - 5)\)

2. محاسبه معادله خط CM (گذرنده از C(3,1) و M(-7,-5)):

\(\begin{array}{l}{m_{CM}} = \frac{{{y_C} - {y_M}}}{{{x_C} - {x_M}}} = \frac{{1 - \left( { - 5} \right)}}{{3 - \left( { - 7} \right)}} = \frac{{1 + 5}}{{3 + 7}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\\ \Rightarrow {L_{CM}}:y - {y_C} = {m_{CM}}\left( {x - {x_C}} \right)\\ \Rightarrow y - 1 = \frac{3}{5}\left( {x - 3} \right)\\ \Rightarrow 5(y - 1) = 3(x - 3)\\ \Rightarrow 5y - 5 = 3x - 9\\ \Rightarrow 3x - 5y - 4 = 0\end{array}\)

3. محاسبه فاصله نقطه B(-3, 3) از خط \(3x - 5y - 4 = 0\) (طول BH):

\(\begin{array}{l}BH = \frac{{\left| {3{x_B} - 5{y_B} - 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }}\\ = \frac{{\left| {3\left( { - 3} \right) - 5\left( 3 \right) - 4} \right|}}{{\sqrt {9 + 25} }}\\ = \frac{{\left| { - 9 - 15 - 4} \right|}}{{\sqrt {34} }} = \frac{{\left| { - 28} \right|}}{{\sqrt {34} }} = \frac{{28}}{{\sqrt {34} }}\\ = \frac{{28\sqrt {34} }}{{34}} = \frac{{14\sqrt {34} }}{{17}}\end{array}\)

(توجه: استفاده از معادله \(-3x + 5y + 4 = 0\) نیز به همین جواب منجر می‌شود).

ب

در متوازی‌الاضلاع ABCD، اضلاع روبه‌رو موازی و مساوی هستند. برای یافتن راس D، می‌توانیم از موازی بودن اضلاع استفاده کنیم: خط AD موازی با BC است و خط CD موازی با AB است. نقطه D محل تلاقی این دو خط خواهد بود.

مراحل حل:

1. محاسبه شیب BC (\(m_{BC}\)).
2. نوشتن معادله خط AD (گذرا از A با شیب \(m_{BC}\)).
3. محاسبه شیب AB (\(m_{AB}\)).
4. نوشتن معادله خط CD (گذرا از C با شیب \(m_{AB}\)).
5. حل دستگاه معادلات خطوط AD و CD برای یافتن مختصات D.

محاسبات با روش اول (تقاطع خطوط):

\(\begin{array}{l}{m_{BC}} = \frac{{{y_B} - {y_C}}}{{{x_B} - {x_C}}} = \frac{{3 - 1}}{{\left( { - 3} \right) - 3}} = \frac{2}{{ - 6}} = - \frac{1}{3}\\ \Rightarrow {L_{AD}}:y - {y_A} = {m_{BC}}\left( {x - {x_A}} \right)\\ \Rightarrow y - ( - 13) = - \frac{1}{3}(x - ( - 11))\\ \Rightarrow y + 13 = - \frac{1}{3}(x + 11)\\ \Rightarrow 3(y + 13) = - (x + 11)\\ \Rightarrow 3y + 39 = - x - 11\\ \Rightarrow {L_{AD}}:x + 3y = - 50\\\\{m_{AB}} = \frac{{{y_A} - {y_B}}}{{{x_A} - {x_B}}} = \frac{{\left( { - 13} \right) - 3}}{{\left( { - 11} \right) - \left( { - 3} \right)}} = \frac{{ - 16}}{{ - 11 + 3}} = \frac{{ - 16}}{{ - 8}} = 2\\ \Rightarrow {L_{CD}}:y - {y_C} = {m_{AB}}\left( {x - {x_C}} \right)\\ \Rightarrow y - 1 = 2(x - 3)\\ \Rightarrow y - 1 = 2x - 6\\ \Rightarrow {L_{CD}}: - 2x + y = - 5\\\\\text{Solve the system:}\\\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = - 50\\ - 2x + y = - 5\end{array} \right.\\\text{From second equation: } y = 2x - 5\\\text{Substitute into first: } x + 3(2x - 5) = - 50\\ \Rightarrow x + 6x - 15 = - 50\\ \Rightarrow 7x = - 35 \Rightarrow x = - 5\\\text{Substitute x back into y equation: } y = 2( - 5) - 5 = - 10 - 5 = - 15\\ \Rightarrow D( - 5, - 15)\end{array}\)

فرض کنیم نقطه مورد نظر B روی خط y=2x باشد. پس مختصات B را می‌توان به صورت \((x_B, 2x_B)\) نوشت. ما می‌خواهیم نقطه‌ای پیدا کنیم که مجموع فاصله آن تا مبدأ O(0,0) و تا نقطه A(4,2) برابر 5 باشد. یعنی: \(|OB| + |AB| = 5\)

فاصله‌های OB و AB را محاسبه می‌کنیم (با فرض A(2,4)):

\(\left\{ \begin{array}{l}|OB| = \sqrt{{(x_B - 0)^2 + (2x_B - 0)^2}} = \sqrt{x_B^2 + 4x_B^2} = \sqrt{5x_B^2} = \sqrt 5 |x_B|\\|AB| = \sqrt{{(x_B - 2)^2 + (2x_B - 4)^2}} = \sqrt{{(x_B - 2)^2 + (2(x_B - 2))^2}} \\= \sqrt{{(x_B - 2)^2 + 4(x_B - 2)^2}} = \sqrt{5(x_B - 2)^2} = \sqrt 5 |x_B - 2|\end{array} \right.\)

حالا معادله \(|OB| + |AB| = 5\) را بازنویسی می‌کنیم:

\(\begin{array}{l}\sqrt 5 |x_B| + \sqrt 5 |x_B - 2| = 5\\ \Rightarrow \sqrt 5 (|x_B| + |x_B - 2|) = 5\\ \Rightarrow |x_B| + |x_B - 2| = \frac{5}{{\sqrt 5 }} = \sqrt 5 \end{array}\)

برای حل این معادله قدر مطلقی، باید حالت‌های مختلف را بر اساس ریشه‌های داخل قدر مطلق (0 و 2) بررسی کنیم:

حالت 1: \(x_B < 0\)

در این حالت \(|x_B| = -x_B\) و \(|x_B - 2| = -(x_B - 2) = 2 - x_B\).

\(\begin{array}{l}(-x_B) + (2 - x_B) = \sqrt 5 \\ \Rightarrow 2 - 2x_B = \sqrt 5 \\ \Rightarrow 2x_B = 2 - \sqrt 5 \\ \Rightarrow x_B = \frac{{2 - \sqrt 5 }}{2}\end{array}\)

چون \(\sqrt 5 \approx 2.23\)، مقدار \(x_B\) منفی است و در شرط \(x_B < 0\) صدق می‌کند. پس این یک جواب است.

\({y_B} = 2{x_B} = 2\left( {\frac{{2 - \sqrt 5 }}{2}} \right) = 2 - \sqrt 5\). نقطه اول: \(B_1\left( {\frac{{2 - \sqrt 5 }}{2},2 - \sqrt 5 } \right)\)

حالت 2: \(0 \le x_B < 2\)

در این حالت \(|x_B| = x_B\) و \(|x_B - 2| = -(x_B - 2) = 2 - x_B\).

\(\begin{array}{l}(x_B) + (2 - x_B) = \sqrt 5 \\ \Rightarrow 2 = \sqrt 5 \end{array}\)

این تساوی نادرست است، پس در این بازه جوابی وجود ندارد.

حالت 3: \(x_B \ge 2\)

در این حالت \(|x_B| = x_B\) و \(|x_B - 2| = x_B - 2\).

\(\begin{array}{l}(x_B) + (x_B - 2) = \sqrt 5 \\ \Rightarrow 2x_B - 2 = \sqrt 5 \\ \Rightarrow 2x_B = 2 + \sqrt 5 \\ \Rightarrow x_B = \frac{{2 + \sqrt 5 }}{2}\end{array}\)

چون \(\sqrt 5 \approx 2.23\)، مقدار \(x_B \approx 2.115\) که بزرگتر یا مساوی 2 است و در شرط \(x_B \ge 2\) صدق می‌کند. پس این هم یک جواب است.

\({y_B} = 2{x_B} = 2\left( {\frac{{2 + \sqrt 5 }}{2}} \right) = 2 + \sqrt 5\). نقطه دوم: \(B_2\left( {\frac{{2 + \sqrt 5 }}{2},2 + \sqrt 5 } \right)\)

بنابراین دو نقطه با این ویژگی وجود دارد.

در این سوال باید فاصله بین پای میانه AM و پای ارتفاع AH را پیدا کنیم.

مراحل حل:

1. یافتن مختصات M (وسط BC).
2. یافتن معادله خط BC.
3. یافتن معادله خط ارتفاع AH (خط گذرا از A و عمود بر BC).
4. یافتن مختصات H (محل تلاقی دو خط BC و AH).
5. محاسبه فاصله بین دو نقطه M و H.

1. محاسبه مختصات M:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{{1 + 8}}{2} = \frac{9}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right)}}{2} = - \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{9}{2}, - \frac{3}{2}} \right)\)

2. محاسبه معادله خط BC (گذرنده از B(1,-1) و C(8,-2)):

\(\begin{array}{l}{m_{BC}} = \frac{{{y_B} - {y_C}}}{{{x_B} - {x_C}}} = \frac{{\left( { - 1} \right) - \left( { - 2} \right)}}{{1 - 8}} = \frac{{ - 1 + 2}}{{ - 7}} = - \frac{1}{7}\\ \Rightarrow y - {y_B} = {m_{BC}}\left( {x - {x_B}} \right)\\ \Rightarrow y - (-1) = - \frac{1}{7}(x - 1)\\ \Rightarrow y + 1 = - \frac{1}{7}x + \frac{1}{7}\\ \Rightarrow 7(y + 1) = - x + 1\\ \Rightarrow 7y + 7 = - x + 1\\ \Rightarrow {L_{BC}}: x + 7y = -6\end{array}\)

3. محاسبه معادله خط ارتفاع AH (گذرا از A(4,2) و عمود بر BC):

شیب خط AH قرینه معکوس شیب BC است:

\({m_{AH}} = \frac{{ - 1}}{{{m_{BC}}}} = \frac{{ - 1}}{{ - 1/7}} = 7\)

معادله خط AH:

\(\begin{array}{l}y - {y_A} = {m_{AH}}\left( {x - {x_A}} \right)\\ \Rightarrow y - 2 = 7(x - 4)\\ \Rightarrow y - 2 = 7x - 28\\ \Rightarrow {L_{AH}}: - 7x + y = - 26\end{array}\)

4. یافتن مختصات H (حل دستگاه معادلات خطوط BC و AH):

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 7y = -6 \quad (\times 7) \\ - 7x + y = - 26\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x + 49y = -42\\ - 7x + y = - 26\end{array} \right.\)

با جمع دو معادله:

\((7x + 49y) + (-7x + y) = -42 + (-26)\\ \Rightarrow 50y = -68\\ \Rightarrow y_H = \frac{-68}{50} = -\frac{34}{25}\)

با جایگذاری y در معادله اول:

\(x + 7(-\frac{34}{25}) = -6\\ \Rightarrow x - \frac{238}{25} = -6\\ \Rightarrow x = -6 + \frac{238}{25} = \frac{-150 + 238}{25} = \frac{88}{25}\\ \Rightarrow x_H = \frac{88}{25}\)

پس مختصات H برابر \((\frac{88}{25}, -\frac{34}{25})\) است.

5. محاسبه فاصله MH:

\(M(\frac{9}{2}, -\frac{3}{2})\) و \(H(\frac{88}{25}, -\frac{34}{25})\)

\(\begin{array}{l}MH = \sqrt {{{\left( {{x_M} - {x_H}} \right)}^2} + {{\left( {{y_M} - {y_H}} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {\frac{9}{2} - \frac{88}{25}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{3}{2} - \left( { - \frac{34}{25}} \right)} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {\frac{{9 \times 25 - 88 \times 2}}{{50}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 3 \times 25 + 34 \times 2}}{{50}}} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {\frac{{225 - 176}}{{50}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 75 + 68}}{{50}}} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {\frac{{49}}{{50}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 7}}{{50}}} \right)}^2}} \\ = \sqrt {\frac{{{49^2}}}{{{{50}^2}}} + \frac{{{7^2}}}{{{{50}^2}}}} = \sqrt {\frac{{2401 + 49}}{{{{50}^2}}}} \\ = \sqrt {\frac{{2450}}{{2500}}} = \sqrt {\frac{{245}}{{250}}} = \sqrt {\frac{{49 \times 5}}{{50 \times 5}}} = \sqrt {\frac{{49}}{{50}}} \\ = \frac{{\sqrt {49} }}{{\sqrt {50} }} = \frac{7}{{5\sqrt 2 }} = \frac{{7\sqrt 2 }}{{5 \times 2}} = \frac{{7\sqrt 2 }}{{10}}\end{array}\)