شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
معادلهٔ سهمی به صورت \(y = a{x^2} + bx + c\) را در نظر بگیرید.
الف سمت راست این معادله را به شکل مربع کامل بنویسید و نشان دهید:
\(y = a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} + \frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}}\)
ب با استفاده از قسمت قبل، نشان دهید که رأس این سهمی، نقطهٔ \(\left( { - \frac{b}{{2a}}\;,\;\frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}}} \right)\) و خط تقارن آن نیز \(x = - \frac{b}{{2a}}\) است.
الف
\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}y = a{x^2} + bx + c\\\\ \Rightarrow y = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x} \right) + c\\\\ \Rightarrow y = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + {{\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} \right) + c\end{array}\\\begin{array}{l}\\ \Rightarrow y = y = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right) + c - \frac{{{b^2}}}{{4a}}\\\\ \Rightarrow y = a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} + \frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}}\end{array}\end{array}\)
ب
\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x + \frac{b}{{2a}} = 0\\\\ \Rightarrow {x_0} = - \frac{b}{{2a}}\\\\ \Rightarrow {y_0} = a{\left( { - \frac{b}{{2a}} + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} + \frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}} = \frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}}\\\end{array}\\{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{x_0} = - \frac{b}{{2a}}\\\end{array}\\{{y_0} = \frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}}}\end{array}} \right.}\end{array}\)
1736019749.png)
