جواب مرور فصل 6 صفحه 100 درس 6 ریاضی هشتم

این رابطه در هر مثلث قائم الزاویه استفاده می شود و در رابطه با سه ضلع مثلث قائم الزاویه می گوید که مربع طول وتر همواره برابر خواهد بود با مجموع مربع های طول دو ضلع دیگر. به عبارتی در مثلث قائم الزاویه زیر داریم:

\({c^2} = {a^2} + {b^2}\)

به عنوان مثال در مثلث بالا، اگر داشته باشیم:

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\\\b = 4\end{array} \right.\)

آن گاه مقدار وتر با استفاده از رابطه فیثاغورس برابر 5 می شود:

\(\begin{array}{l}{c^2} = {a^2} + {b^2} = {4^2} + {3^2} = 16 + 9 = 25\\\\c = \sqrt {25} = 5\end{array}\)

در دو شکل هندسی که شبیه هم یا با یکدیگر هم نهشت باشند، آن زاویه هایی که در هر دو شکل با یکدیگر برابر هستند و همچنین آن ضلع هایی که در هر دو شکل به هم مربوط می شوند را اجزای متناظر می گویند؛ مثلاً در شکل های زیر، اجزای متناظر با یکدیگر مشخص شده اند:

\(\left\{ \begin{array}{l}A \to A'\\\\B \to B'\\\\C \to C'\end{array} \right.\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A'}\\\\\widehat B = \widehat {B'}\\\\\widehat C = \widehat {C'}\end{array} \right.\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}AB = A'B'\\\\AC = A'C'\\\\BC = B'C'\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}A \to A'\\\\B \to B'\\\\C \to C'\\\\D \to D'\\\\E \to E'\\\\F \to F'\end{array} \right.\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A'}\\\\\widehat B = \widehat {B'}\\\\\widehat C = \widehat {C'}\\\\\widehat D = \widehat {D'}\\\\\widehat E = \widehat {E'}\\\\\widehat F = \widehat {F'}\end{array} \right.\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}AB \to A'B'\\\\BC \to B'C'\\\\CD \to C'D'\\\\DE \to D'E'\\\\EF \to E'F'\\\\AF \to A'F'\end{array} \right.\)

دو مثلث قائم الزاویه هم نهشت هستند اگر یکی از موارد زیر در آن ها صدق کند:

1) طول وتر هر دو مثلث و یک زاویه تند از هر دو مثلث با یکدیگر برابر باشند (این حالت، ساده شده ی حالت (ز ض ز) می باشد):

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat B = \widehat {B'}\\\\BC = B'C'\end{array} \right. \Rightarrow \) بنا به حالت وتر و یک زاویه تند (و ز) \( \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta C \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

2) طول وتر هر دو مثلث و یک ضلع قائمه از هر دو مثلث با یکدیگر برابر باشند (این حالت، ساده شده ی حالت (ض ض ض) می باشد):

\(\left\{ \begin{array}{l}BC = B'C'\\\\AB = A'B'\end{array} \right. \Rightarrow \) بنا به حالت وتر و یک ضلع قائمه (و ض) \( \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta C \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

دو مثلث وقتی با یکدیگر هم نهشت باشند، یکی از سه حالت زیر پیش می آید:

1- حالت (ض ض ض):

سه ضلع مثلث اول با سه ضلع متناظر آن در مثلث دوم با یکدیگر برابرند:

\(\left\{ \begin{array}{l}AB = A'B'\\\\AC = A'C'\\\\BC = B'C'\end{array} \right. \Rightarrow \) بنا به حالت (ض ض ض) \( \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta C \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

2- حالت (ض ز ض):

دو ضلع و زاویه بین آن ها در مثلث اول با دو ضلع متناظر و زاویه بین آن دو در مثلث دوم با یکدیگر برابرند:

\(\left\{ \begin{array}{l}AC = A'C'\\\\\widehat C = \widehat {C'}\\\\BC = B'C'\end{array} \right. \Rightarrow \) بنا به حالت (ض ز ض) \( \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta C \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

3- حالت (ز ض ز):

دو زاویه و ضلع بین آن ها در مثلث اول با دو زاویه متناظر و ضلع بین آن دو در مثلث دوم با یکدیگر برابرند:

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A'}\\\\AC = A'C'\\\\\widehat C = \widehat {C'}\end{array} \right. \Rightarrow \) بنا به حالت (ض ز ض) \( \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta C \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

در یک مثلث قائم‌الزاویه، با داشتن دو ضلع، می‌توان ضلع سوم را با استفاده از رابطهٔ فیثاغورس پیدا کرد.

به عنوان مثال، اگر یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع قائمه ی 6 و 8 داشته باشیم، وتر (R) به صورت زیر بدست می آید:

\(\begin{array}{l}{R^2} = {8^2} + {6^2} = 64 + 36 = 100\\\\R = \sqrt {100} = 10\end{array}\)

اگر سه ضلع یک مثلث داده شده باشد، می‌توان با استفاده از رابطهٔ فیثاغورس بررسی کرد که آیا مثلث قائم‌الزاویه است یا خیر.

به عنوان مثال می خواهیم بررسی کنیم که آیا اضلاعی به طول 7، 8 و 9 تشکیل یک مثلث قائم الزاویه می دهند یا خیر! اول از همه باید بدانیم که کدام ضلع، کدام طول را دارد. می دانیم که در یک مثلث قائم الزاویه، همیشه بیشترین طول برای وتر مثلث می باشد؛ بنابراین اندازه وتر را برابر 9 در نظر می گیریم. در نتیجه 7 و 8 نیز مربوط به اضلاع قائمه می شوند. اکنون این اعداد را در رابطه فیثاغورس می گذاریم:

\(\left. \begin{array}{l}{8^2} + {7^2} = 64 + 49 = 113\\\\{9^2} = 81\end{array} \right\} \Rightarrow {8^2} + {7^2} \ne {9^2}\)

بخاطر وجود نامساوی متوجه می شویم که اضلاع به طول 7، 8 و 9 هیچ گاه تشکیل یک مثلث قائم الزاویه را نخواهند داد. اما اضلاع به طول 5، 12 و 13 تشکیل یک مثلث قائم الزاویه می دهند؛ چرا که در رابطه فیثاغورس صدق می کنند:

\(\left. \begin{array}{l}{5^2} + {12^2} = 25 + 144 = 169\\\\{13^2} = 169\end{array} \right\} \Rightarrow {5^2} + {12^2} = {13^2}\)

هنگامی که دو شکل هم نهشت باشند، می توانیم اضلاع و زاویه های متناظر را مشخص کنیم. بعد از مشخص کردن، با نوشتن تساوی بین این اضلاع و زاویه ها، برابر بودن آن ها را نشان می دهیم:

\(\begin{array}{l}A\mathop B\limits^\Delta C \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta C' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \to A'\\\\B \to B'\\\\C \to C'\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A'}\\\\\widehat B = \widehat {B'}\\\\\widehat C = \widehat {C'}\end{array} \right.\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}AB = A'B'\\\\AC = A'C'\\\\BC = B'C'\end{array} \right.\end{array}\)

1- حالت سه ضلع:

سه ضلع مثلث اول با سه ضلع متناظر آن در مثلث دوم با یکدیگر برابرند:

\(\left\{ \begin{array}{l}AB = A'B'\\\\AC = A'C'\\\\BC = B'C'\end{array} \right. \Rightarrow \) بنا به حالت (ض ض ض) \( \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta C \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

2- حالت دو ضلع و زاویه بین:

دو ضلع و زاویه بین آن ها در مثلث اول با دو ضلع متناظر و زاویه بین آن دو در مثلث دوم با یکدیگر برابرند:

\(\left\{ \begin{array}{l}AC = A'C'\\\\\widehat C = \widehat {C'}\\\\BC = B'C'\end{array} \right. \Rightarrow \) بنا به حالت (ض ز ض) \( \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta C \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

3- حالت دو زاویه و ضلع بین:

دو زاویه و ضلع بین آن ها در مثلث اول با دو زاویه متناظر و ضلع بین آن دو در مثلث دوم با یکدیگر برابرند:

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A'}\\\\AC = A'C'\\\\\widehat C = \widehat {C'}\end{array} \right. \Rightarrow \) بنا به حالت (ض ز ض) \( \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta C \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

1- هم نهشتی دو مثلث قائم الزاویه در حالت وتر و یک زاویه:

طول وتر هر دو مثلث و یک زاویه تند از هر دو مثلث با یکدیگر برابر باشند (این حالت، ساده شده ی حالت (ز ض ز) می باشد):

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat B = \widehat {B'}\\\\BC = B'C'\end{array} \right. \Rightarrow \) بنا به حالت وتر و یک زاویه تند (و ز) \( \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta C \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

2- هم نهشتی دو مثلث قائم الزاویه در حالت وتر و یک ضلع:

طول وتر هر دو مثلث و یک ضلع قائمه از هر دو مثلث با یکدیگر برابر باشند (این حالت، ساده شده ی حالت (ض ض ض) می باشد):

\(\left\{ \begin{array}{l}BC = B'C'\\\\AB = A'B'\end{array} \right. \Rightarrow \) بنا به حالت وتر و یک ضلع قائمه (و ض) \( \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta C \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

برای حل مسئله‌های هم‌ نهشتی، باید از یکی از شرایط بالا برای اثبات هم ‌نهشتی استفاده کنید.

\(\begin{array}{l}{x^2} = {15^2} + {55^2} = 225 + 3025 = 3250\\\\x = \sqrt {3250} = \sqrt {2 \times {5^3} \times 13} = 5\sqrt {130} \end{array}\)