جواب فعّالیت صفحه 41 درس 3 ریاضی نهم (استدلال و اثبات در هندسه)

بیاییم گام‌به‌گام این دو مسئله را حل کنیم و ببینیم چه راز مشترکی در دل آن‌ها نهفته است.

1 حل مسئله پول‌ها (استدلال عددی)

بیاییم اطلاعات را ساده‌نویسی کنیم:

1 پول حمید + پول بهرام = 5000 تومان

2 پول سعید + پول بهرام = 5000 تومان

استدلال:

چون مجموع پول هر دو نفر با بهرام برابر با یک عدد ثابت (۵۰۰۰) شده است و «پول بهرام» در هر دو طرف مشترک و یکسان است، پس منطقاً پول نفر اول (حمید) باید دقیقاً اندازه پول نفر دوم (سعید) باشد تا تساوی برقرار بماند.

نتیجه:

پول حمید و سعید با هم برابر است. (انگار پول بهرام را از هر دو کفه ترازو برداریم، تعادل کفه حمید و سعید باقی می‌ماند).

2 حل مسئله زاویه‌ها (استدلال هندسی)

تحلیل و پاسخ:

در شکل هندسی، خط راست همیشه زاویه ۱۸۰ درجه (نیم‌صفحه) می‌سازد.

1 زاویه \({\hat O_1}\) و زاویه \({\hat O_2}\) کنار هم روی یک خط هستند، پس:

\({\hat O_1} + {\hat O_2} = {180^ \circ }\)

2 زاویه \({\hat O_3}\) و زاویه \({\hat O_2}\) هم کنار هم روی یک خط هستند، پس:

\({\hat O_3} + {\hat O_2} = {180^ \circ }\)

استدلال:

چون مجموع هر دو جفت برابر با ۱۸۰ درجه است، پس خودشان هم با هم برابرند:

\({\hat O_1} + {\hat O_2} = {\hat O_3} + {\hat O_2}\)

حالا دقت کن! زاویه \({\hat O_2}\) در هر دو طرف تساوی وجود دارد (مثل پول بهرام!). اگر آن را از طرفین خط بزنیم (حذف کنیم)، چه می‌ماند؟

\({\hat O_1} = {\hat O_3}\)

3 شباهت این دو مسئله چیست؟ (نکته طلایی)

این همان سوال هوشمندانه‌ای است که کتاب پرسیده: «چه شباهتی می‌بینید؟»

پاسخ:

در هر دو مسئله، ما از یک «ویژگی مشترک» یا «جزء مشترک» استفاده کردیم و با حذف آن، به نتیجه رسیدیم.

در مسئله اول، «پول بهرام» جزء مشترک بود.

در مسئله دوم، «زاویه \({\hat O_2}\)» جزء مشترک بود.

این یک قانون مهم در منطق و ریاضیات است:

اگر دو چیز با یک چیز سوم برابر باشند، آن‌گاه آن دو چیز با هم برابرند.

(چون پول حمید و سعید هر دو با حذف سهم بهرام مقدار یکسانی دارند، و زاویه ۱ و ۳ هر دو مکمل زاویه ۲ هستند).