جواب کار در کلاس صفحه 38 درس 3 ریاضی نهم (استدلال و اثبات در هندسه)

\(\begin{array}{l}\hat A = \hat D\\\\\hat B = \hat E\end{array}\)فرض:            

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \hat A + \hat B = \hat D + \hat E\\\\ \Rightarrow {180^ \circ } - (\hat A + \hat B) = {180^ \circ } - (\hat D + \hat E)\end{array}\)

می دانیم مجموع زاویه های هر مثلث برابر 180 درجه است:

\(\begin{array}{l}{180^ \circ } - (\hat A + \hat B) = \hat C\\\\{180^ \circ } - (\hat D + \hat E) = \hat F\end{array}\)

\( \Rightarrow \hat C = \hat F\)حکم:          

\(AC > AB\)فرض:            

\(\hat B > \hat C\)حکم:                  

روی ضلع بزرگتر یعنی AC به اندازه ی AB جدا می کنیم:

چون AB = AD می باشد، داریم:

\(AB = AD \Rightarrow {\hat B_1} = {\hat D_1}\)

همچنین در مثلث BDC داریم:

\(B\mathop D\limits^\Delta C:\,\,\,\,\,{\hat D_1} = {\hat B_2} + \hat C\)

نتیجه می شود:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}{{\hat B}_1} = {{\hat D}_1}\\\\{{\hat D}_1} = {{\hat B}_2} + \hat C\end{array} \right\} \Rightarrow {{\hat B}_1} = {{\hat B}_2} + \hat C\\\\\left. \begin{array}{l} \Rightarrow {{\hat B}_1} > \hat C\\\\\hat B = {{\hat B}_1} + {{\hat B}_2}\end{array} \right\} \Rightarrow \hat B > \hat C\end{array}\)

بنابراین با داشتن فرض AC > AB چنین نتیجه گرفتیم که \(\hat B > \hat C\)

عکس قضیۀ بالا:

\(\hat B > \hat C\) فرض:            

\(AC > AB\)حکم:        

برهان خلف:

اگر AC = AB باشد، آن گاه داریم \(\hat B = \hat C\)

اگر AC < AB باشد، آن گاه طبق قضیۀ بالا داریم که \(\hat B < \hat C\)

بنابراین چون دو حالت دیگر به هیچ عنوان رخ نمی دهد و فرض مسئله این است که \(\hat B > \hat C\) ، تنها حکمی که رخ خواهد داد این است که \(AC > AB\)

\({\hat B_2} = \hat A + \hat C\)

می دانیم که در هر مثلث، مجموع زوایای داخلی برابر با 180 درجه می شود:

\({\hat B_1} + \hat A + \hat C = {180^ \circ }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

همچنین می دانیم که بر روی امتداد پاره خط BC در رأس B، چنین داریم:

\({\hat B_1} + {\hat B_2} = {180^ \circ }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

از عبارت های (1) و (2) چنین نتیجه می گیریم که:

\(\begin{array}{l}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,(2)} \left\{ \begin{array}{l}{{\hat B}_1} + \hat A + \hat C = {180^ \circ }\\\\{{\hat B}_1} + {{\hat B}_2} = {180^ \circ }\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\hat A + \hat C = {180^ \circ } - {{\hat B}_1}\\\\{{\hat B}_2} = {180^ \circ } - {{\hat B}_1}\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow {{\hat B}_2} = \hat A + \hat C\end{array}\)