دانلود اپلیکیشن
در نزدیکی منزل ترانه و شهرزاد، بوستانی هست که در آن یک پل فلزی به شکل نیم دایره وجود دارد بچه ها برای بازی از پله های آن بالا می روند. می دانیم فاصلهٔ ابتدای پل (نقطۀ A) از انتهای آن (نقطۀ B) 10 متر است. ترانه روی پلۀ C نشسته است که از انتهای پل 6 متر فاصله دارد (BC = 6) و شهرزاد روی پلۀ D نشسته است که از ابتدای پل همین مقدار فاصله دارد. آن ها حدس می زنند که باید فاصله شان از پایه های مقابل برابر باشد؛ یعنی AC = BD. درستی حدس آن ها را به دو روش ثابت کنید.
1 نشان دهید زاویه های \(\hat C\) و \(\hat D\) در شکل، قائمه است. طول های AC و BD را به کمک قضیهٔ فیثاغورس محاسبه کنید و نشان دهید: AC = BD
\(AB \Rightarrow \hat C = \hat D = \frac{{{{180}^ \circ }}}{2} = {90^ \circ }\) قطر نیم دایره است
می دانیم زاویه محاطی نصف کمان مقابل به آن می باشد بنابراین داریم:
\(\begin{array}{l}\hat C = {90^ \circ }\\\\ \Rightarrow A{C^2} = A{B^2} - B{C^2}\\\\ \Rightarrow AC = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = \sqrt {100 - 36} = 8\\\\\hat D = {90^ \circ }\\\\ \Rightarrow B{D^2} = A{B^2} - A{D^2}\\\\ \Rightarrow BD = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = \sqrt {100 - 36} = 8\end{array}\)
2 به کمک هم نهشتی مثلث های ACB و ADB، نشان دهید AC = BD.
می دانیم کمان های نظیر وتر های مساوی با هم مساوی اند بنابراین داریم:
\(\begin{array}{l}BC = AC = 6\\\\ \Rightarrow BC = AD \Rightarrow \frac{{BC}}{2} = \frac{{AD}}{2}\\\\ \Rightarrow {{\hat A}_1} = {{\hat B}_1} \Rightarrow C\hat AB = D\hat BA\end{array}\)
\({\hat A_1}\) و \({\hat B_1}\) دو زاویه محاطی رو به رو به کمان های BC و AD است
از طرفی با توجه به قسمت اول (سوال 1) داریم \(\hat C = \hat D = {90^ \circ }\) بنابراین داریم:
\(\left. \begin{array}{l}\hat C = \hat D = {90^ \circ }\\\\{{\hat A}_1} = {{\hat B}_1}\\\\AB = AB = 10\end{array} \right\} \Rightarrow \) بنا به حالت (و ز) \(A\mathop B\limits^\Delta C \cong A\mathop B\limits^\Delta D \Rightarrow AC = AD\)
1736019749.png)
