جواب فعّالیت صفحه 75 درس 4 ریاضی نهم (توان و ریشه)

الف

برای گویا کردن مخرج کسر \(\frac{5}{{2\sqrt 3 }}\) ، باید رادیکالِ مخرج را از بین ببریم.

چون در مخرج \(\sqrt 3 \)  داریم، کسر را در \(\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}\)  ضرب می‌کنیم:

\(\frac{5}{{2\sqrt 3 }} = \frac{5}{{2\sqrt 3 }} \times \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}\)

حالا صورت و مخرج را ضرب می‌کنیم:

\( = \frac{{5\sqrt 3 }}{{2\sqrt 3 \times \sqrt 3 }}\)

می‌دانیم که:

\(\sqrt 3 \times \sqrt 3 = 3\)

پس:

\( = \frac{{5\sqrt 3 }}{{2 \times 3}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{6}\)

جای خالی:

\(\frac{5}{{2\sqrt 3 }} = \frac{5}{{2\sqrt 3 }} \times \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{6}\)

ب

در اینجا، برای گویا کردن مخرجی که دارای ریشه سوم (فرجه ۳) است، باید مخرج را در عبارتی ضرب کنیم که توانِ عدد زیر رادیکال را به عدد ۳ برساند تا رادیکال حذف شود.

چون در مخرج \(\sqrt[3]{5}\)  (یعنی 5¹) داریم، باید آن را در \(\sqrt[3]{{{5^2}}}\)  ضرب کنیم تا حاصل شود:

\(\sqrt[3]{{{5^1} \times {5^2}}} = \sqrt[3]{{{5^3}}} = 5\)

تکمیل راه حل:

\(\frac{2}{{\sqrt[3]{5}}} \times \frac{{\sqrt[3]{{{5^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{5^2}}}}} = \frac{{2 \times \sqrt[3]{{25}}}}{{\sqrt[3]{{{5^3}}}}} = \frac{{2\sqrt[3]{{25}}}}{5}\)

بنابراین جای خالی به صورت زیر پر می‌شود:

\(\frac{2}{{\sqrt[3]{5}}} = \frac{2}{{\sqrt[3]{5}}} \times \frac{{\sqrt[3]{{{5^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{5^2}}}}} = \frac{{2\sqrt[3]{{25}}}}{5}\)

ج

برای تکمیل این حل، باید توجه کنیم که وقتی به مرحله \(\frac{{4\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\)  رسیدیم، هدف ما گویا کردن مخرج است که الان برابر با \(\sqrt 2 \)  است. برای حذف این رادیکال، باید کسر را در \(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}\)   ضرب کنیم.

مراحل کامل آن به این صورت است:

\(\frac{4}{{\sqrt {\frac{2}{3}} }} = \frac{4}{{\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\)

حالا برای گویا کردن، صورت و مخرج را در \(\sqrt 2 \)  ضرب می‌کنیم:

\( = \frac{{4\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} \times \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{4\sqrt 6 }}{2}\)

در نهایت، با ساده کردن عدد 4 در صورت و 2 در مخرج (2 = 2 ÷ 4)، به پاسخ نهایی می‌رسیم:

\( = 2\sqrt 6 \)

بنابراین جای خالی به این شکل پر می‌شود:

\(\frac{4}{{\sqrt {\frac{2}{3}} }} = \frac{4}{{\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} \times \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{4\sqrt 6 }}{2} = 2\sqrt 6 \)

د

برای کامل کردن این تساوی، باید به این نکته توجه کنیم که هدف ما در مخرج رسیدن به یک عدد صحیح (بدون رادیکال) است.

در حال حاضر در مخرج عبارت \()\sqrt[3]{{{2^2}}}\) یا همان \((\sqrt[3]{4}\)  را داریم. برای اینکه فرجه ۳ از بین برود، باید 2² را در یک 2¹ دیگر ضرب کنیم تا بشود 2³ .

بنابراین، کسر را باید در \(\frac{{\sqrt[3]{2}}}{{\sqrt[3]{2}}}\)  ضرب کنیم:

1 جای خالی اول:

\(\frac{{2\sqrt[3]{7}}}{{\sqrt[3]{{{2^2}}}}} \times \frac{{\sqrt[3]{2}}}{{\sqrt[3]{2}}}\)

2 محاسبات:

در صورت: \(2\sqrt[3]{7} \times \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{{7 \times 2}} = 2\sqrt[3]{{14}}\)

در مخرج: \(\sqrt[3]{{{2^2}}} \times \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{{{2^3}}} = 2\)

بنابراین داریم:

\(\frac{{2\sqrt[3]{{14}}}}{2}\)

3 جای خالی دوم (ساده کردن):

حالا می‌توانیم عدد ۲ در صورت را با عدد ۲ در مخرج ساده کنیم، که نتیجه نهایی برابر است با \(\sqrt[3]{{14}}\) .

پاسخ کامل:

\(\frac{{2\sqrt[3]{7}}}{{\sqrt[3]{{{2^2}}}}} \times \frac{{\sqrt[3]{2}}}{{\sqrt[3]{2}}} = \frac{{2\sqrt[3]{{14}}}}{2} = \sqrt[3]{{14}}\)

هـ

برای گویا کردن مخرج این کسر، ما به دنبال حذف رادیکال از مخرج \((\sqrt x )\)  هستیم.

همان‌طور که می‌دانید، برای اینکه حاصل‌ضرب یک رادیکال در خودش برابر با عبارت زیر رادیکال شود، باید آن را در خودش ضرب کنیم. یعنی \(.\sqrt x \times \sqrt x = x\)

پس باید صورت و مخرج را در \(\sqrt x \)  ضرب کنیم:

\(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt x }} \times \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt {2x} }}{x}\)

پاسخ نهایی برای پر کردن جای خالی:

\(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt x }} \times \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt {2x} }}{x}\)

شرط x>0 هم برای این است که عبارت تعریف شده باشد (چون در مخرج کسر و زیر رادیکال نمی‌توانیم عدد منفی یا صفر داشته باشیم).

و

برای گویا کردن مخرجِ \(\frac{5}{{\sqrt[3]{{{z^2}}}}}\)  باید عاملی پیدا کنیم که \({z^2}\)  را به \({z^3}\)  برساند؛ یعنی باید در \(\sqrt[3]{z}\)  ضرب کنیم، چون:

\(\sqrt[3]{{{z^2}}} \times \sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{{{z^3}}} = z\)

پس جاهای خالی این‌گونه پر می‌شوند:

\(\frac{5}{{\sqrt[3]{{{z^2}}}}} \times \frac{{\sqrt[3]{{\frac{z}{1}}}}}{{\sqrt[3]{{\frac{z}{1}}}}} = \frac{{5\sqrt[3]{z}}}{z}\)