دانلود اپلیکیشن
1 در جدول زیر تعدادی عدد داده شده و حاصل ضرب آنها در توان های 10 یا حاصل تقسیم آنها بر توان های 10 خواسته شده است. جاهای خالی را پر کنید و توضیح دهید که هنگام ضرب یا تقسیم، مکان ممیز چگونه تغییر می کند؟
2 سرعت نور 300،000،000 متر بر ثانیه است. فاصله ای که نور در ١٠٠ ساعت می پیماید، چند متر است؟ راه حل این مسئله در ادامه داده شده است. آن را کامل کرده، توضیح دهید که پاسخ چگونه به دست آمده است.
فاصله ای که نور در ١٠٠ ساعت می پیماید = 360000 × 300000000
ثانیه 3600 = 1 ساعت
ثانیه 360000 = 100 ساعت
واضح است که ضرب دو عدد بالا به این صورت دشوار است. در محاسبات ریاضی ابتدا هرکدام از این عددها را به صورت یک عدد اعشاری مثبت با یک رقم صحیح در توانی از عدد ١٠ نمایش می دهند که آن را «نماد علمی» آن عدد می گویند؛ بنابراین:
\(\begin{array}{l}300000000 = 3 \times {10^8}\\\\360000 = 3/6 \times {10^5}\\\\ \Rightarrow 3 \times {10^8} \times 3/6 \times {10^5} = \\\\10/8 \times {10^{13}} = 1/08 \times {10^{14}}\end{array}\)
دقت کنید که حاصل ضرب نیز با نماد علمی نمایش داده شده است.
این گونه نمایش به جز سادگی در نوشتن، محاسبات را آسان تر می کند و در ضمن نوعی نظم و هماهنگی در نمایش عددهای بزرگ (یا کوچک) به شمار می آید.
حل این مسئله به زیبایی با استفاده از نماد علمی انجام شده است تا کار با اعداد بزرگ و پر از صفر ساده‌تر شود. در ادامه، قدم‌به‌قدم توضیح می‌دهم که این پاسخ چگونه به دست آمده است.
توضیح گام‌به‌گام حل مسئله
گام اول: هم‌واحد کردن زمان و سرعت
سرعت نور بر حسب «متر بر ثانیه» داده شده است (300،000،000 متر بر ثانیه). اما زمان داده شده بر حسب «ساعت» است (100 ساعت). برای محاسبه فاصله، ابتدا باید زمان را به ثانیه تبدیل کنیم:
هر یک ساعت برابر با 3600 ثانیه است.
بنابراین، 100 ساعت برابر است با:
100 ×3600 = 360,000s
گام دوم: استفاده از فرمول مسافت
می‌دانیم که مسافت برابر است با حاصل‌ضرب سرعت در زمان. بنابراین:
360،000 × 300،000،000 = فاصله
گام سوم: تبدیل به نماد علمی
همان‌طور که در متن مسئله اشاره شده، ضرب مستقیم این اعداد دشوار است و احتمال خطا را بالا می‌برد. پس آنها را به نماد علمی (یک عدد بین ۱ تا ۱۰ ضرب‌در توانی از ۱۰) تبدیل می‌کنیم:
سرعت نور: هشت صفر جلوی عدد ۳ قرار دارد، پس ممیز ۸ رقم به چپ می‌رود:
\(300000000 = 3 \times {10^8}\)
زمان: ممیز را ۵ رقم به سمت چپ می‌بریم تا به عدد اعشاری 3/6 برسیم:
\(360000 = 3/6 \times {10^5}\)
گام چهارم: انجام عملیات ضرب
حالا این دو عدد را که به صورت نماد علمی نوشته شده‌اند، در هم ضرب می‌کنیم. برای سادگی، بخش‌های عددی را در هم و توان‌های ده را در هم ضرب می‌کنیم:
\(\begin{array}{l}(3 \times {10^8}) \times (3/6 \times {10^5}) = \\\\(3 \times 3/6) \times ({10^8} \times {10^5})\end{array}\)
ضرب اعداد: 3 × 3/6 = 10/8
ضرب توان‌ها: بر اساس قوانین توان‌ها، در ضرب با پایه‌های مساوی، توان‌ها با هم جمع می‌شوند:
\({10^8} \times {10^5} = {10^{8 + 5}} = {10^{13}}\)
نتیجه تا این مرحله برابر است با:
\(10/8 \times {10^{13}}\)
گام پنجم: استانداردسازی نماد علمی
در نماد علمی استاندارد، عدد اصلی باید حتماً بین ۱ تا ۱۰ باشد (فقط یک رقم صحیح غیر صفر قبل از ممیز). عدد 10/8 بزرگتر از ۱۰ است، پس باید ممیز را یک رقم به سمت چپ حرکت دهیم که این کار معادل ضرب کردن عدد در \({10^1}\) است:
\(10/8 = 1/08 \times {10^1}\)
حالا این مقدار را در نتیجه قبلی جایگزین می‌کنیم تا توان‌های ده مجدداً با هم جمع شوند:
\((1/08 \times {10^1}) \times {10^{13}} = 1/08 \times {10^{14}}\)
بنابراین، مسافتی که نور در ۱۰۰ ساعت طی می‌کند برابر با \(1/08 \times {10^{14}}\) متر است.
1736019749.png)
